Cтраница 3
Если В также фредгольмов с плотной областью определения, то БА, в силу теоремы 12.2, фредгольмов. [31]
Доказать, что если оператор А Е if ( X, У) непрерывно обратим, то он фредгольмов. [32]
О, 1) выполнены оба условия (2.9) и (3.12), то отображение и н - [ Ни, Ви задает замкнутый плотно определенный фредгольмов оператор из Ш, / e в Я ( о. [33]
K) xf; он состоит из двух частей: тождественного оператора Е и интегрального оператора К, в некотором смысле более слабого по сравнению с Ь Фредгольм доказал, что для этого типа интегральных уравнений имеют место следующие два факта относительно п линейных уравнений с тем же числом п неизвестных. [34]
Эта тенденция алгебраизировать исчисление бесконечно малых и все процессы высшей математики приобретала все возрастающее значение и, наконец, революционизировала все здание высшей математики. Фредгольм ( 1900) дал строгое обоснование всей теории, показав, что один класс интегральных уравнений может быть представлен как предел обыкновенной системы линейных алгебраических уравнений, порядок которой возрастает до бесконечности. Более того, ошибка становится малой уже тогда, когда порядок соответствующей алгебраической системы еще не очень велик. [35]
Фредгольм, Лауричелла, Марколонго, Корн ( см. Fredholm [ 23, Lauricella [ I, 2 ], Marcolongo [1], Korn [1, 2]) исследовали первую основную задачу статики. Корн, Боджо, Вейль ( см. Korn [ 31, Bogio [1], Weyl [1]) рассмотрели также вторую основную задачу. [36]
Если фредгольмов оператор А действует в бесконечномерном пространстве X, то его индекс может быть ненулевым. [37]
К ( х, s) K ( s, х) - эрмитово сопряженное ядро, означает комплексное сопряженно, наз. Для ур-ний Фредгольма с непрерывным ядром доказана совокупность теорем, дающих общие сведения о решениях. Из этих теорем следует, что множество собств. Непрорывные ядра Вольтерры вообще не имеют собстн. К соответствует конечное число ( наз. [38]
Пусть оператор С непрерывно обратим, а оператор Т вполне непрерывен. Доказать, что оператор А С - - Т фредгольмов. [39]
Позднее это наблюдение приобрело весьма широкое значение и сыграло большую роль в развитии теории эллиптических линейных дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. Пусть имеется два гильбертовых пространства HI, HI и нетеров, по современной терминологии фредгольмов, оператор A: HI - Я2, т.е. замкнутый ограниченный линейный оператор с конечномерным ядром A ( h) 0, h КегА ( не путать с понятием ядра интегрального оператора. [40]
Однако, вообще говоря, степенной ряд ( 6) имеет некоторый конечный радиус сходимости. В то же время уравнение ф ЯЛф / имеет решение при всех Я, кроме конечного или счетного числа значений, именно таких, что 1 / Я есть собственное значение оператора А. Фредгольм показал, что для интегрального оператора А, определяемого ограниченным и непрерывным ядром K ( s, t), решение уравнения ф ЯЛф - - / может быть найдено следующим способом. [41]
И хотя я не имею возможности остановиться сколько-нибудь подробно на столь важных работах Пуанкаре, как работы по фигуре равновесия вращающейся жидкости или по дифракции волн Герца, все же нельзя не упомянуть хотя бы по названию весьма тонкий метод выметания, позволивший Пуанкаре подойти к решению краевых задач теории потенциала, и обойти молчанием капитальный труд Об уравнениях математической физики ( 1894 г.), в которых мастер, опираясь на фундаментальное неравенство Г.А. Шварца и используя остроумную модификацию метода последовательных приближений, дал математически строгое доказательство существования бесконечно многих собственных колебаний непрерывной системы масс и показал, что совершаемое системой колебание самого общего вида представимо в виде суперпозиции собственных колебаний. Ряд результатов и методов мы относим теперь, после того как Фредгольм и Гильберт, наконец, открыли нам глаза, к кругу идей теории интегральных уравнений - теории, в которую Пуанкаре давно внес немалый вклад, впервые установив критерии сходимости для бесконечных определителей. [42]
Пусть в уравнении (15.1) коэффициенты являются непрерывными со-периодическими функциями, отображения otj удовлетворяют условию aj ( co) ctj ( V) co и непрерывно дифференцируемы. Обозначим через Fl ( R) одно из пространств - C. Справедливость альтернативы Фредгольма для периодических решений означает, что оператор L фредгольмов. [43]
Идея рассмотрения не функциональных производных, а дифференциалов функционалов и последующего перехода к функциональным производным принадлежит Фреше ( см. [31] из библиографии к гл. Этот метод и принят в данной книге. Однако следует заметить, что на практике имела место простая концепция, которая привела Вольтерра к его первым результатам; с простой концепции начинали также Фредгольм и Гильберт, которые далее следовали по одному направлению ( см. [ 201 и [23] из библиографии к гл. Теперь, однако, предпочитают идти этим новым путем, принадлежащим Фреше и другим авторам из этой школы. Этот путь приводит к более современным концепциям о функционалах. [44]