Cтраница 3
В математическом анализе важную роль играет теорема о сведении двойного ( или вообще многократного) интеграла к повторному. В теории кратных интегралов Лебега в этом плане основным результатом является теорема Фубини. [31]
Леви отсюда и из неравенства ( 16) следует, что функция f ( x, y) суммируема на А. Но тогда и f ( x, у) суммируема и для нее верна теорема Фубини. Отсюда вытекает наше утверждение. [32]
Достаточное условие независимости случайных величин, выраженное через плотности распределения, доказывается на основе теоремы о произвольности порядка интегрирования. Для интегралов Римана эта теорема должна быть известна читателю; в справедливость ее для интегралов Лебега ( теорема Фубини) читатель легко поверит. [33]
Интеграл Лебега по кусочно-гладкой поверхности S строится аналогично. При этом для функций f ( x, у), заданных на Rn X 5, сохраняется соответствующая теорема Фубини. [34]
Интеграл Лебега по кусочно-гладкой поверхности S строится аналогично. При этом для функций f ( x, у), заданных на R - X S, сохраняется соответствующая теорема Фубини. [35]
Изложение опирается на теорию интеграла Лебега. Сама теория интеграла Лебега излагается в конспективной манере. Определяется понятие меры, приводятся определения измеримого множества и интеграла Лебега относительно меры, доказывается теорема о построении меры по внешней мере. Дается вывод основных теорем теории интеграла Лебега ( теоремы о предельном переходе и теорема Фубини. Изложение ориентировано на творчески работающего читателя. Восполнение второстепенных деталей в рассуждениях авторов во многих случаях предлагается читателю в качестве упражнений. [36]
В этой главе приводится очень короткое и изящное доказательство теоремы о локальной обратимости гладких отображений евклидовых пространств, доказательство теоремы о неявной функции, которая сопровождается интересными геометрическими приложениями. Затем приводится остроумное доказательство теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Оно основано на локальном представлении гладкого отображения с ненулевым якобианом в виде суперпозиции нескольких отображений, оставляющих неизменными все координаты, кроме одной. Стиль книги вполне соответствует ее названию: главное внимание уделяется именно основам, а не деталям. Некоторые важные сведения ( такие, скажем, как теорема Фубини, теория несобственных интегралов и интегралов, зависящих от параметра) либо вовсе не сообщаются, либо составляют содержание упражнений. [37]
Первое из них основано на рассуждение, которое мы за неимением лучшего термина будем называть принципом компактности. Второе следует доказательству из [49], где используются идеи Люстерника и Бляшке. При этом используется также концепция конкурирующих симметрии из [14], которые будут также полезны в § 4.3 и далее при рассмотрении неравенства Харди - Литлвуда - Соболева. Мы будем часто применять теорему Фубини. [38]