Cтраница 3
Сопоставление A - - W ( A) ( соответственно A - Wn ( A)) определяет ковариантный функтор из категории коммутативных колец с единицей в категорию колец. Xn-i ]), на к-ром определена структура кольцевого объекта. [31]
Напротив, функтор Т: С - В, определенный ранее ( в § 1.3), называется ковариантным функтором из С в В. При общих рассмотрениях бывает гораздо удобнее представлять контравариантный функтор S из С в В как ковариантный функтор S: ( 7ор - В, а иногда как ковариантный функтор S: С - Вор. [32]
Как и в случае прямых систем, обратные системы Я-модулей и их отображения образуют, очевидно, категорию, и операция перехода к обратному пределу - ковариантный функтор из этой категории в категорию левых - модулей и их гомоморфизмов. [33]
Если алгебра А имеет естественную градуировку, то L, V ( L) также обладает естественной градуировкой и соответствие А - - - U ( L ( A)) является ковариантным функтором из категории конечно порожденных градуированных алгебр в естественной градуировке в категорию алгебр Хопфа. [34]
При этом сам пучок f удаляется из С ( f), так что ЯФ ( Т, ) ТФ ( Х, f) ( для классич. Резольвента С ( jf) - точный ковариантный функтор от jf: точной тройке коэффициентов 0 - - - § - - W О отвечает точная тройка резольвент. [35]
Морфизмы в К сейчас определяются как гомоморфизмы соответствующих свободных в алгебр. Реляционная алгебра Ы в данной К есть ковариантный функтор Я: - Bui, рассматриваемый вместе со своим сопряжением ЗГ. При этом должны выполняться аксиомы, о которых уже говорилось. [36]
F, определенных на 17, что F и F2 интегрируемы по Лебегу. Переход к сопряженным пространствам и операторам дает ковариантный функтор. В рассматриваемом примере вложение происходит не в категорию собственных морфизмов, а в категорию DK-регулярных морфизмов. Соответственно, теорема 2.2 не применима, однако и в данном случае лемму 2.1 можно усилить. [37]
Банахов модуль называется проективным, если его ковариантный функтор морфизмов переводит любую допустимую точную последовательность в точную. Банахов модуль называется инъективным, если таким же свойством обладает его кон-травариантный функтор морфизмов. Наконец, и для сегодняшнего доклада это самое главное, банахов модуль называется плоским, если он сохраняет точность допустимых последовательностей после применения функтора тензорного произведения. [38]
Далее определяется умножение - композиция функторов. Эта композиция - снова функтор, причем 2Г2Г ковариантный функтор тогда и только тогда, когда оба сомножителя одновременно ковариантны или контравариантны. [39]
Очевидно что Е - а Ф, - Л есть одноместный ковариантный функтор. [40]
Пусть теперь Ж - категория всех квазигрупп с гомото-пиями в качестве морфизмов и Ж2 - категория обратимых - ав-томатов. Тогда переход Q & Q ( Q, Q, Q) есть ковариантный функтор из Ж в Жч. Этот функтор переводит гомотопии квазигрупп в гомоморфизмы автоматов. [41]
Этот пример имеет отношение и к сопряженным для других кон-травариантных функторов. Мы не нуждаемся в этом термине, поскольку S и Т можно заменить ковариантными функторами S: Аор - X и Т: Хор - А и построить двойственный функтор 5ор: А - Хор, также ковариантный. Это равносильно тому, что Тор сопряжен слева к S. Но это не всегда эквивалентно тому, что Т и S сопряжены справа. [42]
При этом а не обязательно гомоморфизм булевых алгебр, но согласовано с нулем и со сложением. Полагая ЭГ ( т) 81 ( т), мы рассматриваем Я как ковариантный функтор. [43]
Напротив, функтор Т: С - В, определенный ранее ( в § 1.3), называется ковариантным функтором из С в В. При общих рассмотрениях бывает гораздо удобнее представлять контравариантный функтор S из С в В как ковариантный функтор S: ( 7ор - В, а иногда как ковариантный функтор S: С - Вор. [44]
Применение к ней ковариантного аддитивного функтора Т дает комплекс, группы гомологии к-рого наз. Двойственно ( для контравариантного функтора) или, используя инъективные модули и инъективные резольвенты ( для ковариантного функтора), строятся правые производные функторы RnT. Производные функторы измеряют в пек-ром смысле отклонение функтора от точности. [45]