Cтраница 2
При этом предполагается, что эти составляющие повреждения должны быть выражены в виде соответствующих функционалов, связывающих закономерности кинетики обусловливающих их деформационных параметров процесса циклического деформирования материала с учетом ее нелинейности, а также в виде зависимостей изменения свойств материала по параметрам времени т и температуры f в связи с условиями деформирования. [16]
Полученные уравнения в вариациях для упругих консервативных систем являются голономными и представляют условия стационарности соответствующих функционалов, записанных в перемещениях. Вид самих функционалов в большинстве случаев не приводится, поскольку для дальнейшего решения необходимы лишь вариационные формулировки. В общем случае показано, как с использованием этих формулировок удается получить разрешающие дифференциальные уравнения или приближенные решения. [17]
Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряжеяно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемет щениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области системы. Из тех же соображений при решении задач изгиба плиты или оболочек ( порядок дифференциального оператора - 4) необходимо обеспечить непрерывность как перемещений, так и их первых производных. [18]
При широкой постановке решение таких задач сводится к нахождению экстремума ( в большинстве случаев минимума) соответствующих функционалов от большого числа функций, которые аналитически вряд ли могут быть найдены, если при этом не вводятся большие упрощения. [19]
При решении задач строительной механики, связанных с расчетом пластин, оболочек и других пространственных конструкций, соответствующие функционалы являются двойными или тройными интегралами. Метод Власова - Канторовича позволяет свести задачу о минимуме двойного или тройного интеграла к задаче о минимуме простого интеграла. Метод, позволяющий понизить размерность задачи, был почти одновременно предложен Л. В. Канторовичем [38] и В.З.Власовым [16], но с разных позиций. Если в методе Ритца в качестве коэффициентов разложения искомой функции по координатным функциям принимаются неизвестные постоянные параметры, то в методе Власова - Канторовича решение разыскивается в такой форме, что в его состав входят неизвестные функции одного переменного. Преимущество этого метода, кроме большей точности, еще и в том, что лишь часть выражения, дающего решение, выбирается априорно, а другая часть определяется в соответствии с характером задачи. Поэтому этот метод занимает промежуточное положение между точным решением задачи и методом Ритца. [20]
Из табл. 4.4 видно, что в исходной и двойственной вариационных задачах предварительные и естественные условия экстремальности соответствующих функционалов обладают свойством взаимности. В случае контакта двух деформируемых тел статическое условие (4.5) дополняется условием (4.7) в ограничениях множества К и в условиях экстремальности функционалов. Физические соотношения в форме (4.3) позволяют использовать приведенные вариационные постановки контактных задач для нелинейных и анизотропных тел. [21]
Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно изучены в литературе с точки зрения как стационарности, так и экстремальности соответствующих функционалов. Поэтому их целесообразно использовать как исходные пункты для построения и исследования системы полных и частных вариационных функционалов теории упругости. [22]
Из табл. 4.4 видно, что в исходной и двойственной вариационных задачах предварительные и естественные условия экстремальности соответствующих функционалов обладают свойством взаимности. В случае контакта двух деформируемых тел статическое условие (4.5) дополняется условием (4.7) в ограничениях множества К и в условиях экстремальности функционалов. Физические соотношения в форме (4.3) позволяют использовать приведенные вариационные постановки контактных задач для нелинейных и анизотропных тел. [23]
Всегда следует помнить, что равенства, содержащие 6-функцию и ее производные, означают только равенства значений соответствующих функционалов на достаточно гладких функциях. [24]
В § § 2, 3, 4 было показано, что функция, доставляющая точный минимум соответствующему функционалу среднего риска, определяет искомую зависимость. С другой стороны, найти точный минимум по выборке фиксированного объема - задача малореальная. Поэтому-то и предлагалось искать функцию, доставляющую среднему риску значение, близкое к минимальному. [25]
Отметим, что формулы (6.3) и (6.4), а также (6.5) и (6.6) определяют элементы и, реализующие минимумы соответствующих функционалов. [26]
Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях ( в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [27]
Уравнение Эйлера является лишь необходимым условием экстремума соответствующего функционала, так что мы не можем утверждать, что найденная экстремаль дает действительно экстремум соответствующему функционалу. [28]
В приложених часто приходится иметь дело с задачами, которые приводятся к экстремальным, но на более узком множестве, чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут не обладать гладкостью, необходимой для применения классических методов вариационного исчисления. Для исследования такого рода задач с ограничениями были привлечены так называемые вариационные неравенства, что позволило решить довольно сложные задачи механики и физики, до того не поддававшиеся решению. [29]
По предельному переходу, который допускается в функционале fe - метода, можно указать, для решения какого класса задач дифракции удобнее всего применять соответствующий функционал р-метода. [30]