Cтраница 1
Билинейный функционал ( у, х), где у Е и х Е, совпадает со скалярным произведением в Я при у е Я. [1]
Билинейный функционал, а также соответствующая ему билинейная форма А ( х, у) называются эрмитовыми, если А ( х, у) - А ( у, х) при jjcex х / г / е R. Таким образом, для того чтобы билинейный функционал был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы матрица соответствующей билинейной формы ( в любом базисе) была эрмитовой ( ср. [2]
Сам билинейный функционал f ( x, у) часто тоже называют билинейной формой. [3]
Билинейным функционалом называется вещественная функция Q ( u, v) двух аргументов ( и, v) B, являющаяся линейным функционалом по каждому аргументу при фиксированном другом. [4]
Примером билинейного функционала может служить скалярное произведение ( х, у) векторов ( вещественно-го) евклидова пространства. [5]
Привести пример билинейного функционала, левое ядро которого не совпадает с правым. [6]
Привести пример билинейного функционала, который удовлетворяет условию ( 12), но не является ни симметрическим, ни кососимметрическим. [7]
Заметим, что произвольный билинейный функционал и произвольный линейный оператор в конечномерном пространстве ограничены. [8]
Ориентированная площадь является косокоммутативным билинейным функционалом, и каждый такой функционал пропорционален функционалу ориентированной площади. [9]
Таким образом, всякий билинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством ( 6) некоторый билинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множеством билинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство ( 6) устанавливает биекцию между билинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [10]
Пусть ( 5 - сопряженно билинейный функционал, определенный на упорядоченных парах векторов из Сге. Нетрудно показать, что Р положительно определен тогда и только тогда, когда матрица А является положительно определенной эрмитовой. [11]
Условие ограниченности гарантирует непрерывность билинейного функционала. [12]
Здесь и ниже и, фИ2 обозначает билинейный функционал ( ср. [13]
Пусть в комплексном линейном пространстве Е задан эрмитово симметричный билинейный функционал ц, У, невырожденный в том смысле, что для каждого и. Предположим, что для сужения этого функционала на всевозможные конечномерные подпространства максимум отрицательных индексов инерции равен хх. [14]
Пусть А ( х, у) - эрмитов билинейный функционал. [15]