Cтраница 3
Случай П 2, которое я посвящен это шрадаф, также основательно исследован и представлен не только в специально литературе, но ив учебниках аналитической гесштрии, линейной вдге б-ры, функционального анг. Диагональ ( %) б ( хХ) билинейного функционала & J обычно наанвает-оя квадратной формой. [31]
Таким образом, всякий билинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством ( 6) некоторый билинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множеством билинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство ( 6) устанавливает биекцию между билинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [32]
Более того, если мы ограничимся рассмотрением лишь ортонор-мированных базисов, то законы ( 32) и ( 33) изменения матриц операторов и функционалов будут одинаковы. Таким образом, имеется полная параллель между теорией операторов и теорией билинейных функционалов в эвклидовом пространстве. [33]
Оператор A ( v), соответствующий краевой задаче, строится при помощи умножения левой части дифференциального уравнения на произвольный элемент v Е V ( умножение является скалярным, если дифференциальное уравнение векторное) с последующим интегрированием по области О, изменения независимых переменных. После га-кратного применения формулы интегрирования по частям ( формулы Грина) возникает билинейный функционал, обозначаемый ( A ( u) v), величина А ( и) в котором и определяет оператор над решением при вариационной ( слабой) постановке краевой задачи. Во многих случаях элемент А ( и) G V, хотя это не обязательно. [34]
Описанный выше метод вычисления производных неприменим для некоторых типов пространственных возмущений системы. В работе В. Г. Золотухина и др. ( 1968) разработаны эффективные алгоритмы метода Монте-Карло для расчетов билинейных функционалов, входящих в формулу теории малых возмущений. Однако этот метод также не является универсальным. Автором настоящей монографии предложен простой по идее, трудоемкий, но универсальный способ реализации формул теории возмущений. Он основан на моделировании траекторий дополнительных частиц для статистической оценки функции ценности. В целях упрощения излагаемого материала этот способ приведен для случая малых возмущений. [35]
На этом пространстве функция Р ( Л, й) tr ( / 4B) есть сопряженно билинейный функционал. [36]
Таким образом, всякий билинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством ( 6) некоторый билинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множеством билинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство ( 6) устанавливает биекцию между билинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [37]
Таким образом, всякий билинейный функционал выражается в базисе билинейной формой от координат. Наоборот, всякая билинейная форма задает равенством ( 6) некоторый билинейный функционал. Следовательно, при фиксированном базисе существует би-гкция между множеством билинейных функционалов и множеством билинейных форм. Поскольку билинейная форма однозначно определяется матрицей В своих коэффициентов Ьц, равенство ( 6) устанавливает биекцию между билинейными функционалами и их матрицалш в фиксированном базисе. [38]
Эти решения различны, ибо из допущения противного в силу (6.11) приходим к противоречию: xixz. Пусть Е - вещественное рефлексивное локально выпуклое пространство, содержащееся в некотором вещественном гильбертовом пространстве Я. Будем предполагать, что выполнено следующее условие 4): Е с Я, Я содержится в сильно сопряженном Е и плотно в нем, топологии пространств Е и Я, а также Я и Е, соответственно согласованы, билинейный функционал ( у, х, где л: е Я, у е Е, совпадает при у е Я со скалярным произведением ( г /, х) в Я. [39]