Cтраница 3
Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложекные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Во-вторых ( что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю ( что и доставляет нам определенную экстремаль. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй ( или высших) производной в дифференциальной задаче. [31]
Так как условие трансверсальности для данного функционала сводится к условию ортогональности ( см. предыдущий пример), то прямая x - t - 10 должна быть диаметром окружности и, следовательно, центр искомой окружности находится в точке пересечения этой прямой с осью абсцисс. [32]
Граничное условие (14.16) обладает тем свойством, что если UQ удовлетворяет ему, то для выполнения (14.7) не надо накладывать никаких условий на функции сравнения. Такое граничное условие называется естественным для данного функционала. [33]
Одним из типов достаточных условии экстремума являются усиленные ус-лог. I другими условиями это условие обеспечивает слабый минимум ( слабый максимум) данного функционала. [34]
С этой целью предположим, что рассматриваемый критерий эквивалентен условию стационарности некоторого данного функционала & ( Фт) орбиталей фт. [35]
Координатные функции ф () подбирают таким образом, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям, которые не следуют из минимума самого функционала. Таким образом, выбор функций Ф ( я) тесно связан с выбрром конкретного функционала, Функционал гарантирует приближенное выполнение только тех уравнений, которые являются уравнениями Эйлера для этого функционала, и только тех граничных условий, которые для данного функционала являются естественными. [36]
В самой общей постановке проблема оптимального управления сводится к выбору значений во времени некоторых величин, называемых управляющими параметрами. Ряд ограничений, при которых достигается экстремум некоторого функционала, влияет на управляющие параметры. Данный функционал в математической форме характеризует цель управления. [37]
Для исследования экстремальных свойств функционалов, участвующих в формулировке вариационных принципов теории оболочек, так же как и для функционалов теории упругости, может быть использовано свойство выпуклости ( см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно ( исходных пунктов преобразований) и невыпуклости других. Результаты представлены в табл. 4.6; в этой таблице стрелки обозначают, что знаки min и max можно поменять местами, так что данный функционал имеет седловую точку. [38]
При таком представлении искомой функции функционал окажется функцией конечного числа параметров и вариационная задача сведется к задаче на экстремум функции конечного числа параметров, которая решается обычными методами. Затем, совершая предельный переход при п - оо, получим ( в случае существования предела) функцию, являющуюся точным решением рассматриваемой вариационной задачи. Полученное решение будет также, ввиду отмеченной эквивалентности, точным решением граничной вадачи для дифференциальных уравнений, которые являются уравнениями Эйлера или Эйлера-Остръградского для данного функционала. Если не представляется возможным совершить предельный переход и приходится ограничиться функцией ип, то получим приближенное решение вариационной задачи. [39]
Следующим этапом метода конечных элементов является получение системы уравнений для нахождения неизвестных функций в узлах. Данному дифференциальному уравнению с граничными условиями ставят в соответствие некоторый функционал, минимум которого достигается в том случае, когда удовлетворяется исходное дифференциальное уравнение. Иными словами, вариационным уравнением Эйлера для данного функционала является исходное уравнение. [40]
В действительности можно привести множество даже довольно простых примеров уравнений типа Au f, которые не имеют решений u DA в Я, и, следовательно, задача нахождения элемента UQ в DA, который минимизирует функционал (17.3), в этих случаях не имеет решений. Ясно, что аппроксимация этих несуществующих решений, например методом Ритца, не имеет смысла. Простая идея, позволяющая преодолеть эту трудность, заключается в том, чтобы рассматривать функционал в области, более широкой, чем линеал DA. В соответствии с этой идеей при предположении, что оператор А положительно определен на линеале DA, область данного функционала была расширена в так называемое пространство Ял. Функционал, расширенный таким образом, действительно принимает в этом пространстве свое минимальное значение. Элемент uG HA, на котором достигается этот минимум, однозначно определяется правой частью уравнения Аи - f и называется обобщенным решением этого уравнения. Однако в частных случаях может оказаться, что и0 принадлежит исходному множеству DA, так что тогда получаем решение уравнения Au f в обычном смысле, упомянутом выше. [41]
При подстановках вместо формульных переменных с аргументами мы должны учитывать то обстоятельство, что различные их аргументные места могут заполняться по-своему. Две переменные - одну свободную и одну связанную - мы будем называть односортными, если они обе индивидные или обе функциональные. Выражение мы будем называть квазитермом, если оно либо является термом, либо получается из терма в результате замены одной или нескольких его свободных переменных не входящими в данный терм связанными переменными, односортными с заменяемыми переменными. Выражение мы будем называть квазифункционалом, если оно либо является функционалом, либо получается из функционала в результате замены одной или нескольких его свободных переменных не входящими в данный функционал связанными переменными, односортными с заменяемыми переменными. [42]