Функция - минимум
Cтраница 2
Именно эти условия определяют ближайшую к началу координат точку выпуклого многогранника, которая соответствует направлению наискорейшего подъема функции минимума. [16]
Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях ( в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [17]
В данной главе с позиций свойств функции минимума приводятся необходимые и достаточные условия максимина, рассматриваются алгоритмы нахождения направления наискорейшего подъема и алгоритмы поиска экстремального значения функции минимума. При этом под максимином функции минимума понимается ее глобальный максимум. [18]
В данной главе с позиций свойств функции минимума приводятся необходимые и достаточные условия максимина, рассматриваются алгоритмы нахождения направления наискорейшего подъема и алгоритмы поиска экстремального значения функции минимума. При этом под максимином функции минимума понимается ее глобальный максимум. [19]
Алгоритмы решения максиминных задач, рассмотренные в предыдущей главе, не являются единственно возможными. В этих алгоритмах не используется понятие гребня функции минимума. В то же время гребни функции минимума, определение которых дается в данной главе, обладают специфической особенностью, заключающейся в том, что в процессе поиска становятся известными уравнения, описывающие гиперповерхность гребня. Использование этого обстоятельства позволяет с успехом применить для нахождения максимина идеи метода проекции вектора-градиента. Данная глава посвящается рассмотрению метода и реализующих его алгоритмов применительно к поиску экстремума функции минимума. [20]
Если функция ZO ( W) является вогнутой, то это условие является и достаточным. Точка W, для которой выполняются неравенства (7.2), (7.3), является стационарной точкой функции минимума. [21]
В блоке Локальный поиск движение происходит по методу наискорейшего спуска из исходной точки WIICX до пересечения траекторией поиска какого-либо гребня. Далее в блоках Подъем на гребень и Движение по гребню реализуются алгоритмы поиска экстремума функции минимума ZO ( W) по проекционному методу. В процессе движения по найденному гребню может быть пересечен новый гребень. Для его определения вновь происходит обращение к блоку Идентификация гребней. Достижение малой окрестности экстремальной точки сопровождается прекращением увеличения ZO ( W) при выбранном ранее значении шага. Для повышения точности результатов оптимизации шаг поиска при этом уменьшается и поиск продолжается с уменьшенным шагом. Прекращение поиска происходит в том случае, если не наблюдается роста ZO ( W), а значение шага при этом не превышает нижнего граничного значения. [22]
 |
Алгоритм с выбором Е - окрестности по относительной погрешности определения ZO. [23] |
На рис. 34 и 35 приведены траектории изменения запасов работоспособности при нахождении е-стационарной точки ТТЛ-схемы. Причем рис. 34 соответствует алгоритму с выбором е-окрестности по заданной относительной погрешности определения экстремального значения функции минимума, а рис. 35 - алгоритму со специальным выбором е-окрестности. [24]
Как указывалось ранее, для электронных схем характерна непрерывная зависимость выходных параметров у, от управляемых W. Во-вторых, если все функции z ( W) вогнуты в пространстве параметров компонентов WF1, то и функция минимума также вогнута в этом пространстве. Очевидно, для выходных параметров yj, на которые условие работоспособности задано в виде неравенства z / jTTj, функция Z ( W) вогнутая, если функция i / j ( W), характеризующая зависимость выходного параметра от управляемых параметров компонентов, также вогнутая. В случае условия работоспособности г / - ТТ3 - функция Zj ( W) вогнутая, если у ( У /) выпуклая. Приведенное свойство функции минимума используется при установлении достаточных условий максимина. [25]
Геометрическое представление также позволяет определить направление наискорейшего подъема функции минимума. Действительно, если 0 L ( W), то существует такое направление, единственное для данной точки, в котором функция минимума наиболее сильно возрастает. [26]
Рассмотрим геометрическую интерпретацию необходимого условия максимина. Для этого при фиксированном W GWI1 образуем множество градиентов тех функций Zj ( W), значения которых в этой точке совпадают с функцией минимума. Воспользуемся теперь представлением вектора-градиента как точки в пространстве WIT, координаты которой равны составляющим градиента. [27]
Трудности поиска экстремума гребневых целевых функций стимулируют исследование и разработку новых подходов и методов решения экстремальных задач схемотехнического проектирования. Одним из таких подходов и является постановка задачи по способу 6 с использованием максиминного критерия. Функция минимума ZO ( W) имеет ярко выраженный гребневой характер. Однако поиск ее экстремума может быть выполнен со сравнительно малыми потерями на поиск благодаря использованию специфических особенностей гребней функции минимума. [28]
Алгоритмы решения максиминных задач, рассмотренные в предыдущей главе, не являются единственно возможными. В этих алгоритмах не используется понятие гребня функции минимума. В то же время гребни функции минимума, определение которых дается в данной главе, обладают специфической особенностью, заключающейся в том, что в процессе поиска становятся известными уравнения, описывающие гиперповерхность гребня. Использование этого обстоятельства позволяет с успехом применить для нахождения максимина идеи метода проекции вектора-градиента. Данная глава посвящается рассмотрению метода и реализующих его алгоритмов применительно к поиску экстремума функции минимума. [29]
Линии равного уровня функции минимума ZO ( W) показаны полужирными. Нетрудно установить, что точка Э является точкой максимума функции ZO ( W), ее образно можно представить как вершину горы. Очевидно, что направлением наибольшего возрастания функции минимума в точке гребня, например в точке А будет направление, касательное к линии гребня в этой точке. Но это направление не совпадает с градиентными направлениями ни функции z2, ни функции z3 в точке А, так как эти направления ортогональны линиям равного уровня. [30]
Страницы: 1 2 3