Cтраница 4
Условием такого рода для задачи оптимальной стабилизации, имеющей конечное число решений, является топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана - Ляпунова в пространстве решений уравнения Гамильтона-Якоби, в том смысле что график градиента потенциальной функции изолирован в любой окрестности начала координат в пространстве графиков градиентов решений уравнения Гамильтона-Якоби относительно топологии поточечной сходимости. [46]
Синтез оптимальной системы управления осуществим, пользуясь методом динамического программирования, для детерминированных систем, в случае, когда функция Беллмана как решение уравнения Беллмана задается изначально. Выполнение уравнения Беллмана при этом обеспечивается выбором соответствующего адаптивного алгоритма оценивания. [47]
Система (1.1), (1.2) обладает инвариантным слоением функции Беллмана-Ляпунова, если оптимальный поток в пространстве состояний сохраняет поверхности уровня функции Беллмана - Ляпунова. Класс таких систем не пуст и имеет хорошее алгебраическое описание. Для систем этого класса имеет место следующее предложение. [48]
Общая схема динамического программирования эффективно используется в тех целочисленных задачах, в которых удается выразить последовательность рекуррентно связанных между собой функций Беллмана через возможно меньшее число аргументов. Эти аргументы обычно определяются существенными ограничениями задачи. [49]
Однако следует сказать, что функция Кротова K ( x t) определяется из более широких условий ( 13) - ( 15), и она может существовать даже тогда, когда функция Беллмана не существует. Далее, подход Кротова позволяет установить оптимальность допустимых пар или последовательностей, не решая задачу синтеза, так как при этом подходе проводится более тонкое, чем в динамическом программировании, индивидуальное исследование каждой допустимой пары или последовательности, подозрительной на оптимальность. В то же самое время, когда нужно решать проблему синтеза, связанную с задачей ( 4.1.1 - 4), метод Кротова превращается в метод динамического программирования. Такая гибкость метода Кротова делает его весьма привлекательным. [50]
Квадратный трехчлен (9.81), если функции K ( t), p ( t) и q ( t) определяются из уравнений (9.726), ( 9.72 в), (9.736) при граничных условиях ( 9.72 г) и q ( tf) 0, является функцией Беллмана, причем эта функция является гладкой. Как легко проверить, выполняются все условия, при которых уравнение Беллмана является достаточным условием оптимальности. Поэтому соотношения (9.72) действительно определяют оптимальный закон управления. При этом в этой задаче не требуется, чтобы объект был вполне управляем. Решение существует и единственно и в том случае, когда объект является частично ( не полностью) управляемым. Это обусловлено тем, что управляемый процесс рассматривается на конечном интервале времени и вклад неуправляемых фазовых координат в значение критерия оптимальности является конечным, даже если они расходятся. [51]