Функция - вейерштрасс
Cтраница 3
Да: Об этом факте никто уже не помнит, но меньше, чем за год до выхода в свет статьи Кантора [62] ( 1883) ортодоксальные математики познакомились с предложенными Пуанкаре множествами, близкими к троичной пыли и функции Вейерштрасса, и произошло это задолго до создания революционных теорий множеств и функций вещественного переменного. [31]
Укажем, наконец, что вместо даваемого соотношениями ( 14) бесконечного числа полюсов, равноотстоящих друг от друга на прямой, можно было бы рассмотреть удвоенное бесконечное число полюсов, расположенных на бесконечной прямоугольной решетке; тогда решение ( 3) было бы двоякопериодичео кой функцией Вейерштрасса. [32]
Функции o ( z), ( z), o 2 ( z), a3 ( z) выражаются через тета-функции o ( [) i 1 () 1 a () i з ( 1) ( см Якоби эллиптические функции), а функция i ( z) просто выражается через o ( z), ( z), o2 ( z), o - 3 ( z), что составляет вычислительный базис функций Вейерштрасса. [33]
 |
R / S-анализ, данные о минимальных колебаниях курса, AR ( 1 S & P. [34] |
Интересно, что ни одно испытание не проявляет признаки суточных циклов; то есть на более длинные циклы, описанные в Главе 8, не налагаются высокочастотные циклы. Основываясь на функции Вейерштрасса, проанализированной в Главе 6, мы должны увидеть любые такие циклы при осуществлении выборки на высокой частоте. Тот факт, что ни один из них не обнаруживается, приводит нас к заключению, что на высокой частоте нет детерминированных циклов. [35]
Хорошо известно, что между любыми двумя эллиптическими функциями / i и / 2 с одинаковыми периодами существует соотношение видаФ ( / 1 / 2) 0, где Ф - некоторый многочлен от двух переменных. Например, функция Вейерштрасса р и ее производная р ( имеющая, очевидно, те же периоды) связаны алгебраическим уравнением ( р) 2 - 4р3 д2р / з 0, где / 2 7з - инварианты р-функции. Более общо, любые m 2 эллиптических функций с одинаковыми периодами связаны m - 1 алгебраическим соотношением. [36]
Когда синус положителен ( отрицателен, обращается в нуль), значение функции Радемахера равно 1 ( соответственно, - 1 и 0) ( см. [616], I, с. Естественным обобщением функции Вейерштрасса является ряд, п-й член которого представляет собой произведение wn на гг-ю функцию Радемахера. [37]
Свойства функций Вейерштрасса аналогичны свойствам функций Якоби. Заметим, что в теоретических рассмотрениях функции Вейерштрасса почти всегда оказываются более удобными, однако в практических задачах чаще встречаются функции Якоби. [38]
Однако смысл спектральной плотности / - 2 требует особого рассмотрения, так как функция В ( t) нестационарна, а обычная теория ковариантности и спектра Винера - Хинчина имеет дело со стационарными функциями. Поэтому о спектрах мы поговорим позже - в разделе, посвященном функции Вейерштрасса. [39]
Такое наложение многих персистентных процессов на различных частотах является зеркальным отображением процессов релаксации, которые были предложены как структура розового шума. Существует возможность того, что черный шум также является результатом бесконечного числа персистентных процессов на различных частотах, сложенных вместе таким образом, который подобен функции Вейерштрасса. Это было бы полностью совместимо с гипотезой фрактального рынка. [40]
Поскольку F ( u) есть многочлен третьей степени относительно и, то стоящий в правой части интеграл будет эллиптическим. Таким образом, зависимость между и и t, а следовательно, и между ф и t может быть выражена с помощью соответствующей эллиптической функции, называемой функцией Вейерштрасса. [41]
Функции а ( а), С ( и) и ( и) были введены впервые Вейерштрассом. Как видно из их определения, для их построения можно пользоваться любыми двумя комплексными числами си, и ш2 при единственном ограничении, чтобы их отношение было невещественным, и эти функции Вейерштрасса являются не только функциями аргумента а, но и функциями тех комплексных параметров ш, и со2 о которых мы только что упоминали. [42]
Понятие непрерывной функции, корректно сформулированное еще В. Функция Вейерштрасса, не дифференцируемая ни в одной точке, канторовская лестница, кривая Пеано указали на необходимость рассмотрения более частных случаев непрерывности. [43]
Такие же линии допускаются и в качестве кривых сравнения. Выводятся необходимые условия, связывающие значения координат и углы наклона дуг экстремалей в точках р, р, аналогичные условиям Эрдманна. Путем построения поля экстремалей доказывается существование сильного экстремума при выполнении условия, соответствующего условию Якоби, и положительности построенной для рассматриваемого случая функции Вейерштрасса. [44]
Непрерывные, но нигде недифференцируемые функции были известны задолго до Винера. В 1806 г. знаменитый физик А. М. Ампер даже собирался доказать, что любая непрерывная функция дифференцируема, за исключением быть может нескольких изолированных точек. Дюбуа-Реймон впервые опубликовал пример непрерывной, но нигде недифференцируемой функции Вейерштрасса. [45]
Страницы: 1 2 3 4