Cтраница 2
Обратно, если семейство функций обладает свойством, что всякая бесконечная последовательность функций семейства порождает сходят щуюся последовательность, то семейство равностепенно непрерывно. [16]
Для иррегулярной точки О существует по определению исключительная последовательность fn ( z) функций семейства такая, что ни одна подпоследовательность не может сходиться равномерно в круге с центром О, как бы мал он ни был. Результатом этого является то, что функции / п () этой последовательности в произвольно малом круге принимают в своей совокупности все значения кроме, быть может, двух. Обратно, это свойство характеризует исключительную последовательность. [17]
Эта теорема применима, в частности, в случае, если модули значений функций семейства во внутренней точке остаются ограниченными. Если, кроме того, функции голоморфны, то мы знаем, что их модули ограничены в каждой внутренней области. [18]
Зафиксируем значения параметров Д), ад, Ьд, CQ, при которых функция семейства имеет четыре вещественные критические точки с разными значениями. Близкое семейство тоже имеет четыре вещественные критические точки. [19]
Но это 8 зависит от выбора функции / Дд) и, вообще говоря, одного общего 8 для всех функций семейства М не существует. [20]
Свойство семейства функций быть нормальным в области ( D) инвариантно при всяком линейном преобразовании с постоянными коэфициен-тами, совершенном над функциями семейства. [21]
Семейство мероморф-ных функций, квази-нормальное порядка q в области ( D), есть семейство мероморфных функций таких, что всякая последовательность функций семейства порождает подпоследовательность, которая равномерно сходится внутри ( D) всюду кроме q иррегулярных точек. [22]
Как известно, в теории аналитических функций нормальными называют семейства аналитических функций, определенных в некоторой области, обладающие тем свойством, что из любой последовательности функций семейства можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри 2) либо к аналитической функции, либо к бесконечности. Семейство всех конформных отображений однолистных областей не является, вообще говоря, ни компактным, ни нормальным. [23]
Если значения в точке z & функций нормального семейства имеют ограниченные модули, то существует круг с центром в ZQ, который не содержит ни одного полюса функций семейства. [24]
Число нулей функций нормального семейства Если семейство нормальное в области ( D), не имеет ни одной предельной функции, равной постоянному а, то число нулей f ( z) - а, содержащихся внутри ( D), ограниченно для всех функций семейства. [25]
Вот другой случай, когда можно утверждать, что семейство квазинормальное будет нормальным. Прежде всего: если функций квази-нор-малъного семейства порядка не выше q в данной области имеют ограниченные значения модуля в q 1 точках этой области, то семейство нормально в этой области. [26]
Очевидно, что искомая функция U ( х, у) определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего интеграла исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций получаемого семейства. [27]
В пояснение сказанного заметим, что наличие такого 8 для каждой от д ель-ной функции / ( л -) из А непосредственно вытекает из непрерывности этих функций. Суть же дела заключается в возможности подбора одного 8 для всех функций семейства сразу. [28]
Но видна выгода, которую дает понятие точки О, в которой семейство не нормально; это позволяет нам утверждать существование исключительной подпоследовательности, принимающей все значения, кроме, самое большее, двух, в сколь угодно малой окрестности вокруг О. Другими словами, чтобы точка была иррегулярна, необходимо и достаточно существование подпоследовательности функций семейства, принимающих в своей совокупности все значения кроме двух, самое большее, в произвольно малом круге, имеющем центр в этой точке. [29]
Лаврентьев [121] разработал вариационный метод для изучения экстремальных задач теории однолистных функций. Марти [129] использовал очень простой тип вариаций при изучении задачи о максимуме модуля коэффициентов степенных разложений для функций семейства S Бернацкий [17] использовал в некоторых задачах вариационный метод Жюлиа. [30]