Cтраница 3
Пусть в области G задано семейство равномерно ограниченных гармонических функций. Тогда в любой области G, содержащейся вместе со своей границей внутри О, равномерно ограничены производные всех функций семейства. [31]
Семейство функций / ( z), аналитических и равномерно ограниченных в области G, компактно; из всякой бесконечной последовательности таких функций можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри области G, то есть во всякой замкнутой ее подобласти. По известной теореме Вейерштрасса предельная функция также аналитична в области G и очевидно ограничена той же гранью, что и функции семейства. [32]
Оно основано на локально-конечном) покрытии оси ( - оо, оо) счетным множеством промежутков /, на каждом из которых преобразование Фурье одной из функций семейства S не обращается в нуль. [33]
Следовательно, в этом кольце существует не менее одной точки z9, где семейство не нормально. Опишем вокруг точки z9 фиксированный круг ( о0) произвольно малого радиуса; семейство не будет нормальным в этом круге, и, следовательно, бесконечное множество функций семейства принимает какое-нибудь заданное значение а, кроме, быть может, одного исключительного значения. А все эти круги заключены в произвольно малом угле, имеющем J биссектрисой. [34]
Если нормальное семейство голоморфных функций не имеет никакой предельной функции, равной постоянному я, то число нулей функции f ( z) - a ограничено для множества функций семейства во всякой внутренней области. Это свойство верно и для семейства мероморфных функций. [35]
Формулы ( 1) и ( 2) означают, что фронт производящего семейства гиперповерхностей состоит из тех точек пространства параметров, для которых гиперповерхность семейства особа, а каустика производящего семейства функций состоит из тех точек пространства параметров, для которых функция семейства имеет вырожденные критические точки, т.е. такие точки, в которых дифференциал функции обращается нуль, а квадратичная форма второго дифференциала вырождена. [36]
Однако вовсе не эта универсальность является для нас важнейшей чертой таких деформаций. Нас больше интересуют два других свойства таких семейств. Во-первых, почти все семейства функций являются универсальными деформациями ( точнее, версальными деформациями) каждой функции семейства. Поэтому естественно ожидать, что такие деформации возникают практически всюду, где изучаются семейства функций. [37]
Через полученные точки проведем прямые, параллельные координатным осям. Так как / () - / () I ei ПРИ х - х ц1, то график каждой функции семейства f ( x) может проходить не больше чем по двум соседним прямоугольникам каждой полосы, в частности полосы I. Но таких пар прямоугольников из полосы I имеется только конечное число; следовательно, по крайней мере по одной такой паре проходит бесконечное множество графиков функций рассматриваемого семейства. [38]
Теорема § 10, доказанная для семейства ограниченных функций, может быть распространена на более общий случай. Если мы рассмотрим, как уже делали раньше, сферу Римана, полученную инверсией плоскости комплексного переменного Z - f ( z) по отношению точки и, то гипотеза, что функции семейства ограничены, переходит в предположение, что существует на сфере сегмент, окружающий полюс Q, такой, что точка Z никогда не попадает в этот сегмент, каково бы ни было z в области CD) и какова бы ни была функция f ( z) семейства. Но вовсе не является необходимым, чтобы сегмент окружал точку Q: теорема остается верной, если вместо сегмента, окружающего точку Q, взять какую-нибудь другую область сферы, такую, что в нее не будет попадать Z. Z никогда не совпадает с и: это не предполагает существования области, окружающей Q и запрещенной для всех функций. [39]
Вспомним, что матрицы, образующие представление группы, были определены с помощью некоторого набора функций. Разбиение на семейства произойдет таким образом, что при воздействии всех элементов симметрии группы функции каждого семейства преобразуются только друг через друга, не затрагивая функций соседних семейств. В этом случае говорят, что данное представление приводимо. [40]
Для ввода данных с клавиатуры в Автолиспе существует семейство функций GET. Все аргументы функций этого семейства необязательны. В качестве первого аргумента иногда выступает необязательная 2-мерная точка в текущей ПСК. Все функции GET могут иметь в качестве аргумента произвольную строковую константу, в которой может содержаться текст запроса или какая-то подсказка, выводимая при запросе пользователю ввести какие-то данные. Ввод может быть осуществлен как с клавиатуры, так и при помощи устройства указания. Вводя точки с экрана, вы можете захотеть, чтобы в процессе перемещения курсора по экрану Автокад показывал резиновую линию. Это позволяют делать практически все функции семейства GET. Все вводимые данные автоматически преобразуются в нужный тип данных. В макроопределениях меню функции GET нужно выделять обратной косой чертой с тем, чтобы Автокад обеспечил паузы для ввода данных. [41]