Функция - скачок
Cтраница 3
От ее свойств и зависит, какие именно из функций г ( х, I) участвуют в разложении. Если а ( К) - функция скачков со скачками в точках Kj, то в разложении играют роль только функции 1 з ( х, KJ), образующие в совокупности полную счетную систему. В общем же случае множество точек роста функции а ( х) может состоять из счетной последовательности точек, где она имеет скачки, и точек, заполняющих целые интервалы вещественной оси или, быть может, всю ось. Тогда полную систему на интервале [ а, оо) образуют функции 1 з ( х, К), соответствующие как счетной последовательности Kj точек скачков, так и некоторому непрерывному множеству значений К. [31]
От ее свойств и зависит, какие именно из функций ( х, I) участвуют в разложении. Если а ( К) - функция скачков со скачками в точках Ау, то в разложении играют роль только функции ( х, ЯД образующие в совокупности полную счетную систему. В общем же случае множество точек роста функции о ( х) может состоять из счетной последовательности точек, где она имеет скачки, и точек, заполняющих целые интервалы вещественной оси или, быть может, всю ось. Тогда полную систему на интервале [ а, оо) образуют функции г) ( х, Я), соответствующие как счетной последовательности Яу. [32]
 |
Пример метода частотной выборки. [33] |
Однако результирующая частотная характеристика (12.150) в промежутках между частотами дискретизации ведет себя неудовлетворительно. Это поведение связано с явлением Гиббса, которое описывает отклонения функции скачка, представленной усеченным рядом Фурье. [34]
Например, неубывающие ступенчатые функции ( см. § 3) являются функциями скачков. [35]
VU ( A) тогда и только тогда, когда о удовлетворяет равенству ( 4) для всех g, / 69tu и, таким образом, является решением некоторой обобщенной проблемы моментов. Если в предыдущем случае каноническая функция о ( ц) оказывалась всегда функцией чистых скачков, сгущающихся на бесконечности, то теперь можно утверждать, что всякая каноническая функция о ( а) имеет почти всюду производную, равную нулю. [36]
 |
Время, необходимое для достижения. [37] |
В качестве экспериментального ввода при изучении динамики системы целесообразно использовать функцию скачка; такой ввод весьма прост и в то же время богат информацией. В этом случае имеет место внезапное возмущение, порожденное изменением внешнего ввода в систему до некоторой новой величины, которая затем поддерживается постоянной. Функция скачка вызывает возмущение, включающее в себя, вообще говоря, неограниченную полосу частот компонентов. Она может служить для того, чтобы возбудить любого вида реакцию, какая может быть свойственна испытываемой модели. Если для моделируемой системы характерны колебания, то скачкообразный ввод сразу же продемонстрирует естественный период колебаний системы и скорость их затухания или усиления. [38]
Действительно, из определения меры Лебега - Стилтьеса сразу же видно, что мера каждой точки xi равна А -, а мера дополнения множества Xi Ti равна нулю. Равенство ( 2) для любого Лег [ а, h ] вытекает отсюда в силу a - аддитивности меры IF. Мера IF, построенная по какой-либо функции скачков, называется дискретной мерой. [39]
Действительно, из определения меры Лебега - Стилтьеса сразу же видно, что мера каждой точки х равна hh а мера дополнения множества jejflj равна нулю. Равенство ( 2) для любого Ас [ а, Ь ] вытекает отсюда в силу о-аддитивности меры IF. Мера IF, построенная по какой-либо функции скачков, называется дискретной мерой. [40]
Интегралы в ( 6) - ( 7) следует понимать в смысле Стилтьеса. Если функция о ( Я) дифференцируема: о ( Я) р ( А), то интегралы ( 6) превращаются в обычные интегралы Фурье, а ( 7) - в интегралы Ханкеля. Фурье, а интегралы ( 7) при надлежащей функции скачков о ( Я) - в ряды Фурье - Бесселя. Интегралы вида ( 1) - ( 3) и ( 5) в частных случаях ранее неоднократно встречались в гл. [41]
ДИСКРЕТНАЯ МЕРА - мера, сосредоточенная на не более чем счетном множестве. Я сосредоточена на не более чем счетном ( г-меры нуль множестве, всякое одноточечное подмножество к-рого Х - изме-римо. Лебега - Стилтьеса линейных множеств К равна на полуинтервалах приращению нек-рой функции скачков, имеющей ограниченную вариацию, когда Я ограничена, и неубывающей, когда К положительна. [42]
Положим, что Мта и Мть соответствуют диаграммам с некоторой внутренней структурой. Подставляя соответствующие фейнмановские интегралы для них в (1.16), мы получаем правую часть, пропорциональную (1.14), только в пропагаторах Мта величины / в будут входить с отрицательными знаками. Таким образом, формула (1.16), которая следует из условия унитарности, является частным случаем общей формулы; если функция скачка (1.16) связана с разбиением диаграммы на две части, общая формула для скачков приложима к разбиению диаграммы на несколько частей. [43]
Как и при доказательстве теоремы 3.1, теорема выбора Хелли показывает, что существует подпоследовательность последовательности QJ, сходящаяся к пределу Q. Так как равенство (3.14) справедливо, то рассуждения теоремы 3.1 показывают, что соотношение (3.9) имеет место с заменой Q на g и / тъо на moo. Так как функция г / Ьо действительна на действительной оси, то соотношение (3.9) доказывает также, что Q есть функция скачков, разрывная только в точках fa, со скачками, равными вычетам с обратным знаком, взятым для полюсов функции шоо в этих точках. [44]
В точках роста а ( Я) может оставаться непрерывной или иметь скачки. В общем случае нас будут интересовать неубывающие функции т ( А), множество точек роста которых состоит не только из точек скачков. Примером может служить функция G ( k) a0 ( K) a1 ( K), где ог ( К) - функция скачков вида ( 59), а а0 ( К) - неубывающая функция, не имеющая разрывов. [45]
Страницы: 1 2 3