Cтраница 3
Постоянная весовая функция выбирается в том случае, когда F ( х) не имеет особенностей и является достаточно гладкой как внутри отрезка [ а, Ь ], так и на его концах. Функция Якоби позволяет учитывать степенные особенности F ( x) ( b - х) а ( х - a) f ( x) на концах а и Ь отрезка интегрирования или на одном из его концов при достаточной гладкости F внутри отрезка. Вес Лагерра учитывает степенную особенность в точке х 0 и связан со скоростью убывания F ( x) xaf ( x) при х-юо. [31]
Вводя фазовое ж, р-пространство и гамильтониан Н р / ( ж), мы получим возможность использовать методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби х sn ( t, k) - эллиптический синус. [32]
Вводя фазовое х, - пространство и гамильтониан Hpf ( x), мы получим возможность использовать мощные методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби х sn ( /, k) - эллиптический синус. [33]
Вейерштрасса эти числа не подчинены никаким дальнейшим ограничениям. В теории функций Якоби число w при заданием - с определяется из того условия, чтобы разность е, - ея была равна единице. [34]
Вейерштрасса эти числа не подчинены никаким дальнейшим ограничениям. В теории функций Якоби число со при заданном т определяется из того условия, чтобы разность е1 - es была равна единице. [35]
Формулы ( 131) дают представление функций Якоби в виде частного двух целых функций. & ( г /), мы можем заключить, что SH ( H) есть нечетная функция, а сп ( н) и da ( и) - четные функции. [36]
Формулы ( 131) дают представление функции Якоби, в виде частного двух целых функций. Пользуясь нечетностью 9 - j ( v) и четностью остальных функций & ( й), мы можем заключить, что sn ( и) есть нечетная функция, а сп ( и) и dn ( и) - четные функции. [37]
Свойства функций Вейерштрасса аналогичны свойствам функций Якоби. Заметим, что в теоретических рассмотрениях функции Вейерштрасса почти всегда оказываются более удобными, однако в практических задачах чаще встречаются функции Якоби. [38]
Покажем, что обобщенный синус s ( /) во всех случаях может быть выражен через функции sin t, sh t или через функции Якоби. Именно, при п 0 ( п - коэффициент при г4 в выражении 1 mz2 tiz) он выражается через sin / или sh, а при п Ф 0 - через функции Якоби. [39]
В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона - Якоби. Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. С помощью функции Якоби S, на которую наложено гораздо меньше условий, можно найти и гамильтонову lF - функцию. Но было бы практически невозможно найти й - функцию непосредственно путем решения двух совместных уравнений в частных производных. Связь между этими двумя теориями будет обсуждаться более подробно в следующей главе. [40]
Этот класс статистик, конечно, далеко не исчерпывает всех интересных случаев. Но можно рассматривать разбиения с различными слагаемыми - вообще без кратностей; равномерная мера на них называется статистикой Ферми-Дирака. И тогда производящие функции будут такие же, но - xk в знаменателе нужно заменить на 1 xk в числителе. Эти два варианта исчерпывают распределения, изучаемые в статистической физике квантового идеального газа при разных размерностях. Для идеального газа размерности d коэффициент bk - это знаменитая функция Якоби jd ( k), равная количеству представлений числа k в виде суммы d квадратов. [41]