Cтраница 2
В случае, когда область К является кругом или полуплоскостью, становится значительно больше интересных классов автоморфных функций, так как появляется больше различных групп. Теория автоморфных функций берет свое начало с изучения модулярных функций, тесно связанных с эллиптическими функциями. [16]
X над Q вытекает, что кривая X униформи-зуется модулярными функциями, а функция ( s) есть преобразование Меллина модулярной формы, отвечающей дифференциалу рода 1 на X. X являются преобразованиями Меллина подходящих модулярных форм. Пока их удается проверить лишь для кривых, определенных над полем функций. [17]
Полученную при этом область В0, представляющую собой круговой треугольник с нулевыми углами, однолистно и конформно отобразим на верхнюю полуплоскость А ш: 1тш0 так, чтобы точкам Аг, А2, А3 соответствовали точки О, 1, оо вещественной оси Сю. Отображающую функцию обозначим w a ( z) и назовем модулярной функцией. [18]
Лича Лг4 имеется 23 типа глубоких дыр, находящихся во взаимно однозначном соответствии с решетками Нимейера. Наличие этого соответствия и недавно открытого соответствия между классами со-лряженности в группе - Монстре и некоторыми модулярными функциями [ Con 17 ] позволяет предположить, что будет полезен список мелких дыр в решетке Лича, а также классификация ее областей Делоне при условии, что будет найдена некоторая глубокая структура. Несмотря на то что такая структура пока не появилась, полный список глубоких и мелких дыр уже нашел несколько дрименений и представляется целесообразным его обнародовать. Главным является следующий результат. [19]
Если же L - не спрямляема, то множество точек меры нуль на окружности z l может переходить во множество точек L положительной меры. Первый конкретный пример такой области был построен В. В. Голубевым [4] с помощью весьма простых рассмотрений некоторых отображений, производимых модулярной функцией. Рассматривая более узкий класс граничных точек, а именно, недостижимых конечным путем), М. А. Лаврентьев [5, 8] доказал, что это множество всегда переходит во множество точек меры нуль на окружности. [20]
Некоторые гипотезы из [ Con 17 ] обладают аналогами, в которых М заменяется на компактную простую групппу Ли, в-частности на группу Ли Е &. Большинство получающихся утверждений сейчас доказано Кацем и др. Однако создается представление, что эта аналогия с группами Ли не столь хороша, как бы хотелось, поскольку два из четырех классов сопряженности элементов порядка 3 в Е & дают, как было показано в [ Que 7 ] - [ Que9 ], примеры модулярных функций, ни одна из которых не является ведущим модулем ни для какой модулярной группы. [21]
Он ввел в своей работе новые трансцендентные - фуксовы и клейновские функции. Эта модулярная функция ( выделено Дарбу, -) была вполне изучена Эрмитом, показавшим, в частности, замечательное свойство, которым она обладает, - воспроизводиться с помощью дробных ( дробно-линейных, -) подстановок с целыми коэффициентами и детерминантом, равным единице. [22]
Меллина преобразований модулярных форм и, следовательно, она имеет мероморфное продолжение и удовлетворяет функциональному уравнению. В частдости, есть предположение, что каждая эллиптич. Q ( кондуктора N) униформизуется модулярными функциями уровня N. [23]
Адамар восторгается грандиозным обобщением теории эллиптических функций, предпринятым Пуанкаре. А ведь фуксовы функции явились в результате обобщения модулярной функции, которой пользовался Эрмит, а вслед за ним и другие математики. [24]
Poincare), посвященные проблеме униформиаации алгебраич. Их цель заключалась в том, чтобы аналогично тому, как эллиптич. Клейн исходил при этом из теории модулярных функций. Поле модулярных функций изоморфно полю рациональных функций, но можно рассматривать функции, инвариантные относительно различных подгрупп модулярной группы, и получать таким способом более сложные поля. [25]
В науке ему принадлежит много важных результатов, создание новых направлений, преобразование некоторых отделов анализа. Он доказал, например, следующее: Если для целой функции / ( z) существует два значения постоянной Л, для которых уравнение / ( z) A не имеет конечного корня, то функция / ( z) сводится к постоянной. Отсюда следует, что если / ( z) целая функция, не сводящаяся к постоянной, то может существовать не более одного значения постоянной А такого, что уравнение / ( z) A не имеет решения [ II, 148, с. Для доказательства Пикар использовал функцию, встреченную и изученную Эрмитом в его глубоких исследованиях об эллиптических функцияхt модулярную функцию, которая выражает зависимость между модулем эллиптической функции и отношением ее периодов. Впоследствии были даны более прямые доказательства этой теоремы Пикара, не использующие частные свойства модулярной функции например, Эмилем Борелем. Сам Пи-кар позднее обобщил полученный результат. [26]
Клейн изложил рпманову концепцию теории комплексных функций в своей книге О рвмановой теории алгебраических функций ( Ober Riemanns Theorie der algebraischen Fiuictioueu, 1882 г.), в которой он подчеркивал, что физические соображения могут оказывать влияние даже на самые тонкие части математики. В Лекциях об икосаэдре ( Vorlesungen tiber das Ikosaeder, 1884 г.) он показал, что современная алгебра может научить многим новым и удивительным вещам и относительно древних Платоновых тел. Этот труд является исследованием групп вращения правильных тел п их роли в качестве групп Галуа алгебраических уравнений. В обширных исследованиях, принадлежащих ему и его многочисленным ученикам, Клейн применил понятие группы к линейным дифференциальным уравнениям, к эллиптическим и модулярным функциям, к абелевым и новым автоиорфпым функциям, к последним - в интересном и дружеском соревновании с Пуанкаре. [27]
Неудивительно, что мыслитель такого склада, как Пуанкаре, чья ярко выраженная индивидуальность ( как отметил Радош в своем докладе о первом присуждении премии Бояи) позволяла признать в нем ученого-интуитивиста, для которого стимулом широких по охвату исследований служит неисчерпаемый источник геометрических и физических представлений, с самого начала своей научной деятельности ( под влиянием Эрмита) оказался в орбите великих теоретико-функциональных идей Римана. Он безошибочно определил то место, с которого можно было бы продолжить построение теории функций, и осуществил свой замысел в серии блестящих работ, примыкающих к работам Фукса по линейным дифференциальным уравнениям. Эти работы, украшающие первые тома журнала Acta Mathema-tica, позволяют считать Пуанкре наряду с Клейном создателем теории авто-морфных функций. Такие функции, отличающиеся инвариантностью относительно некоторой группы линейных преобразований ( к числу автоморф-ных функций принадлежат эллиптические функции, а также введенные Клейном эллиптические модулярные функции), играют исключительно важную роль по крайней мере по двум причинам. [28]
Несмотря на в целом лестный тон5 с некоторыми утверждениями Клейна невозможно согласиться. И прежде всего с тем, что Эрмит не обладал необходимыми качествами для создания и развития своей собственной школы. Некоторые из них, будучи его непосредственными учениками, успешно продолжали различные направления его исследований, например в области квадратичных и прочих алгебраических форм, трансцендентности чисел, интегрирования уравнений с двояко-периодическими коэффициентами, а также в сфере изучения, использования и развития понятий модулярной группы и модулярной функции. [29]
Poincare), посвященные проблеме униформиаации алгебраич. Их цель заключалась в том, чтобы аналогично тому, как эллиптич. Клейн исходил при этом из теории модулярных функций. Поле модулярных функций изоморфно полю рациональных функций, но можно рассматривать функции, инвариантные относительно различных подгрупп модулярной группы, и получать таким способом более сложные поля. [30]