Cтраница 3
Эмиль Борель писал, что самое прекрасное открытие которым Анализ обязан Эрмиту, это, без сомнения, - открытие модулярной функции. Эта трансцендентная встреченная при изучении эллиптических функций, могла быть изучена полностью посредством принципов этой теории; она представила пример аналитической функции; естественная область существования которой ограничивается некоторой частью плоскости, и которая, с другой стороны, допускает дискретную группу линейных подстановок. Известно, какое значение приобрело обобщение этих различных свойств, особенно благодаря прославленным работам г. Пуанкаре [ III, 2, с. Клейна, посвятившего их изучению с помощью геометрических соображений ряд фундаментальных трудов. Клейн считал, что с понятием модулярной функции ( судя по рукописному наследию) был знаком еще Гаусс. [31]
В науке ему принадлежит много важных результатов, создание новых направлений, преобразование некоторых отделов анализа. Он доказал, например, следующее: Если для целой функции / ( z) существует два значения постоянной Л, для которых уравнение / ( z) A не имеет конечного корня, то функция / ( z) сводится к постоянной. Отсюда следует, что если / ( z) целая функция, не сводящаяся к постоянной, то может существовать не более одного значения постоянной А такого, что уравнение / ( z) A не имеет решения [ II, 148, с. Для доказательства Пикар использовал функцию, встреченную и изученную Эрмитом в его глубоких исследованиях об эллиптических функцияхt модулярную функцию, которая выражает зависимость между модулем эллиптической функции и отношением ее периодов. Впоследствии были даны более прямые доказательства этой теоремы Пикара, не использующие частные свойства модулярной функции например, Эмилем Борелем. Сам Пи-кар позднее обобщил полученный результат. [32]
На теорию функций владычество групп было впервые распространено самим Клейном - с помощью введенного им понятия автоморфной функции. Единственными конформными, т.е. сохраняющими аналитичность, отображениями круга на се0я являются дробно-линейные преобразования. Отсюда возникает понятие автоморфной функции как функции, инвариантной относительно некоторой группы линейных подстановок независимых переменных. Важнейшие функции, встречавшиеся в истории математики, такие, как показательная функция, эллиптические функции, модулярная функция, подпадают под это понятие, акцентирующее их главный, решающий аспект. Каждая фигура, наделенная специфическими свойствами симметрии, если, следуя Риману, превратить ее в благодатную ниву, на которой произрастают аналитические функции, приводит к определенному классу автоморфных функций. Но понятие автоморфной функции, как показал Клейн в теоремах униформизации, имеет несравненно более широкое значение. Причина этого кроется, очевидно, в той роли, которую группы играют в топологии - дисциплине, занимающейся изучением свойств континуумов, остающихся неизменными при всевозможных непрерывных деформациях. [33]
Такие отображения имеют непосредственное отношение и ко многим другим задачам, решаемым для односвязных областей с помощью конформных отображений. С их помощью, например, решается задача Дирихле для многосвязной области. При рассмотрении отображений многосвязных областей функциями, аналитическими в этих областях, естественным образом возникают некоторые алгебраические вопросы, так как с каждым таким отображением связывается так называемая группа автоморфизмов. В конце главы мы познакомимся с модулярной функцией и коротко изложим простейшие вопросы из теории эллиптических и автоморфных функций. [34]