Cтраница 4
Достаточно убедиться в том, что опорная функция c ( W ( F ( t)) t / 0)) 1 /)) отображения W ( F ( t) i / 0) измерима. [46]
При выборе начала координат внутри V опорная функция Hv многогранника V очевидным образом будет непрерывна; поэтому из неравенства () следует, что опорная функция произвольного выпуклого тела К может быть равномерно приближена непрерывными функциями. [47]
Функционал Минковского выпуклого множества иногда называют опорной функцией. [48]
Соответствие между выпуклыми множествами и их опорными функциями отражает некое дуальное соответствие между положительной однородностью и свойством быть индикаторной функцией. Значит, если / есть положительно однородная индикаторная функция, то / будет также положительно однородной индикаторной функцией. Разумеется, положительно однородная индикаторная функция есть не что иное, как индикаторная функция конуса. Таким образом, мы получаем, что если / ( л:) 8 ( х К) для некоторого непустого выпуклого конуса К. [49]
Если проекцию точки на множество U и опорные функции l ( un) найти несложно, то метод ( 2 - 3) очень прост. Однако этот метод, вообще говоря, немонотонный: необязательно J ( un i) sc / ( n), поэтому близость / () к / трудно проверяема. [50]
Множества convF, convG выпуклы и их опорные функции c ( convF, - 0), c ( convG, VO совпадают с c ( F, - ф), c ( G, - ф в силу свойства 7, поэтому включения в фигурных скобках можно записать в эквивалентной форме в виде неравенств. [51]
Удобным аппаратом для работы с множествами являются опорные функции. [52]
Однако существуют выпуклые функции, не имеющие опорных функций в некоторых точках области определения. Например, выпуклая функция / () - 1 / 1 - гга в точках 1 не имеет опорных. Заметим, что точки 1 являются граничными для области определения этой функции. Ниже будет показано, что всякая выпуклая на U функция во внутренних точках U имеет опорную функцию. Для доказательства этого факта нам понадобятся некоторые вспомогательные сведения. [53]