Cтраница 2
Для начала мы рассматриваем параметризованные кривые и изучаем их геометрию при помощи вещественнозначных функций, определенных на этих кривых. Чтобы увидеть, насколько это может быть геометрически интересно, и поскорее ввести читателя в курс дела, рассмотрим пример. [16]
Иными словами, eFx есть пучок алгебр, являющийся подпучком пучка ростков непрерывных вещественнозначных функций на X, содержащим постоянный подпучок. [17]
Пдг) в (5.1.3), где А - действительный параметр, оказывается вещественнозначной функцией. [18]
Мы видим, что по форме это определение полностью совпадает с определением непрерывности для вещественнозначных функций ( ср. [19]
После преобразования Фурье по переменной х оператор р, перейдет в оператор умножения на вещественнозначную функцию. [20]
Пусть X - компактное метрическое пространство, а С ( Х, R) - банахово пространство непрерывных вещественнозначных функций на X с sup - нормой. [21]
Из принципа подстановки ( глава I, § 7) теперь следует: если f и g - две вещественнозначные функции, существующие на одном и том же множестве, то их сумма, разность, произведение и частное - функции такого же рода; на функцию частное накладывается ограничение, состоящее в том, что функция з во всей области существования должна быть отлична от 0, Здесь мы имеем простейший пример того, каким образом наши логические принципы конструирования приводят в конкретных приложениях к алгебраическим принципам, которые виделись старому анализу в понятии функции. [22]
Таким образом, с точки зрения непрерывно дифференцируемых функций на многообразии М эквивалентные атласы карт равноправны, и для представления функций в виде непрерывно дифференцируемых вещественнозначных функций от независимых переменных ( координат точки) можно пользоваться любыми из эквивалентных атласов карт. [23]
Далее нам потребуется дополнительная информация из упражнения 4.4.5. Сначала заметим, что теория интеграла Римана непрерывных функций со значениями в банаховом пространстве довольно схожа с теорией интеграла Римана для вещественнозначных функций. [24]
Нулевым элементом относительно сложения служит функция, всюду равная нулю, а функцией, противоположной функции f ( x), - функция, принимающая в точке с значение - / ( с) - Произведение вещественнозначной функции и вещественного числа всегда принадлежит множеству вещественно-эначных функций. Остается проверить, выполняются ли соответствующие тождества. [25]
Рассмотрим общий случай комплекснозначной функции /: П - С. Функция / определяется двумя вещественнозначными функциями, так как f ( x) - s ( x) ih ( x), где д и h вещественнозначны. [26]
В анализе прежде всего рассматриваются вещественнозначные функции, определенные на всем R или интервалах ( a, 6) c: R. Дли большинства приложений, однако, пространство всех таких функций слишком велико: полезно рассматривать непрерывные или дифференцируемые функции. После введения соответствующих определений обычно доказывается, что сумма непрерывных функций непрерывна и произведение непрерывной функции на скаляр непрерывно; то же для дифференцируемости. [27]
Фурье) называются конечные линейные комбинации функций cos nx, sin пх или конечные линейные комбинации функций etnx, n Z. Обычно первые применяются в теории вещественнозначных функций, а вторые - комплекснозначных. Поскольку einx cos nx 4 - 1 sin nx, над С оба пространства многочленов Фурье совпадают. Над R используется билинейная метрика, над С - полу-торалинейная. [28]
Это означает, что подмножество А пространства элементарных событий, состоящее из всех тех элементарных исходов о, для которых Х ( со) меньше некоторого произвольного вещественного числа х, есть событие. Q) пространства Q, то любая вещественнозначная функция может быть выбрана за случайную величину: условие (2.8) выполняется автоматически. Именно такая ситуация часто встречается в тех случаях, когда пространство элементарных событий конечно, как в приведенных выше примерах. Если пространство элементарных со бытии Q несчетно бесконечно, то, вообще говоря, не имеет смысла рассматривать каждое его подмножество как событие. Такое пространство Q в некотором смысле слишком велико: оно содержит весьма экзотические подмножества, которые было бы неразумно называть событиями. [29]
Подмножество B ( XY) ( или кратко В) единичного шара Bj. Частный случай следующей теоремы был вначале доказан для вещественнозначных функций в статье А. [30]