Cтраница 1
Гипергеометрическая функция является целой функцией по J, и поэтому единственным источником сингулярностей служит выражение в квадратных скобках, в котором содержатся факториальные функции, имеющие сингулярности при целых отрицательных значениях своих аргументов. [1]
Для гипергеометрических функций, входящих в решения, им составлены подробные таблицы. [2]
Преобразование гипергеометрической функции в ( 120 1) при таком переходе дается первой из формул ( 118 13), и мы должны потребовать обращения в нуль коэффициента перед F2 в этой формуле. [3]
Преобразование гипергеометрической функции в ( 120 1) при таком переходе дается первой из формул ( 118 13), и мы должны потребовать обращения в нуль коэффициента перед Р2 в этой формуле. [4]
Любые три гипергеометрические функции F ( tti, Pi, ifi, z), F ( a2, Pa, Tfz, z) и F ( a3, Рз, Тз, z) в случае, когда разности i - a, PJ - PH, i ( i - Чй являются целыми числами, связаны между собой линейными соотношениями, коэффициенты которых яляются полиномами переменной. [5]
Общая теория гипергеометрических функций / / Докл. [6]
Основные свойства гипергеометрических функций, используемые при выводе решений для сферической оболочки, излагаются, например, в книге [15] ( см. стр. [7]
Если ряд содержит только гипергеометрические функции вида 2Fi ( - / г, 6; с; ж), то соответствующие формулы после перехода к классическим многочленам согласно формулам из 7.3.1 см. в [18], гл. [8]
Учитывая асимптотическое поведение гипергеометрической функции при больших значениях аргумента ( см. ( 17.20 а)), найдем, что постоянная a y - aZK / h должна равняться нулю или целому отрицательному числу. В противном случае волновая функция ( см. (17.92)) должна экспоненциально возрастать при р - оо. [9]
Теория других аналогов гипергеометрической функции связана с представлениями групп Шевалле над полями Галуа, в частности группы унимодулярных матриц с элементами из таких полей. Дроби, содержащие такие выражения, появляются при подсчете числа fe - мер-ных подпространств в / 7-мерном линейном пространстве над полем Галуа и являются аналогами биномиальных коэффициентов. Насколько нам известно, пока еще не разработана теория коэффициентов Клеб-ша - Гордана и Рака для представлений групп Шевалле, равно как и общая теория матричных элементов этих представлений. Чрезвычайно любопытным является тот факт, что те же специальные функции дискретного переменного, которые возникают в теории представлений групп, встречаются в возникшей за последние десятилетия ветви дискретной математики, называемой алгебраической комбинаторикой. По-видимому, должна существовать такая же связь между ортогональными многочленами действительного аргумента и континуальными аналогами ассоциативных схем, теория которых пока еще не построена. [10]
В случае с гипергеометрической функцией мы, кажется, имеем нечто в этом роде. Она, по-видимому, является пределом для того типа закономерностей, которые мы сейчас знаем. [11]
Уиттекера, Похгаммера ( конфлюэнтные гипергеометрические функции), Бесселя, Лаггера и др. Попытки аналитического исследования систем т, заданных в форме уравнения ( 4) или ( 5), предпринимаются давно. В [7], [8] и др. на основе формального применения преобразования Лапласа рассмотрены вопросы построения передаточных функций. [12]
В своей работе о гипергеометрических функциях, связанных с торическими многообразиями [ G-K-Z 1 ], Гельфанд, Зелевинский и Капранов ввели новый комбинаторный объект, ассоциированный с конечным множеством А из п точек в R: вторичный многогранник QQ ( A), лежащий в Rn, который задается при помощи регулярных триангуляции2 множества А. Один из их основных результатов ( см. [ G-K-Z 2 ]), о котором пойдет речь в этой статье, заключается в том, что QQ ( A) является многогранником Ньютона дискриминанта, соответствующего множеству А. Кроме того, они дают явную формулу для коэффициентов при крайних мономах дискриминанта. В частности, эти коэффициенты всегда с точностью до знака являются произведениями целых чисел вида NN. Недавно Капранов, Штурмфельс и Зелевинский [ K-S-Z ] дали более концептуальное представление этих результатов в терминах торических вырождений и форм Чжоу. [13]
Решение его можно получить через гипергеометрические функции [49], а также в виде степенного ряда [34], что представляется более удобным, особенно в случае наращиваемого цилиндра. [14]
Лежандра также являются частным случаем гипергеометрической функции. [15]