Cтраница 3
Поэтому, если постоянные а -, & n i П Д - чинить условиям (3.29), то V будет знакоопределенной функцией переменных г 2, , n ъ а и знакопостоянной функцией переменных и... [31]
Если для уравнения возмущенного движения (7.1) существует положительно определенная функция V ( t x), допускающая бесконечно малый высший предел и такая, что ее полная производная, составленная в силу уравнения (7.1), является знакопостоянной функцией знака, противоположного с V ( t x), и также допускающей бесконечно малый высший предел, то тривиальное решение (7.3) этого уравнения устойчиво. [32]
Если для уравнения возмущенного движения (5.1) существует положительно определенная функция V ( t x), допускающая бесконечно малый высший предел, и такая, что ее полная производная, составленная в силу уравнения (5.1), является знакопостоянной функцией знака, противоположного с V ( t, ж), и также допускающей бесконечно малый высший предел, то тривиальное решение (5.3) этого уравнения устойчиво. [33]
Наиболее простое доказательство теоремы Лагранжа получается из общей теоремы Ляпунова об устойчивости: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с F, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. [34]
Таким образом, в ограниченном кристалле могут реализоваться только две возможности. Если же F L) - знакопостоянная функция, то при достаточно большом Р ( таком, что F ( ( f) S0) произойдет потеря устойчивости с последующим скачкообразным превращением упругого двойника в остаточную двойниковуй) прослойку. [35]
Такие функции называют знакоопределенными. Кроме того, существует еще понятие знакопостоянной функции, которая может принимать в области нулевые значения не только в начале координат, в остальных же точках она сохраняет лостоянство знака. [36]
Знак неравенства в уравнении показывает, что в диске может быть не точно выполнено условие равнопрочности. Неравенство в этом случае можно дополнить знакопостоянной функцией / ( г), величина которой характеризует отклонение от условия равнопрочности. [37]
Положительно определенные и отрицательно определенные функции в области D называются знакоопределенными функциями в области D. Очевидно, знакоопределенные функции являются частным случаем знакопостоянных функций. [38]
Тегрема Ляпунова об устойчивости движения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, производная которой If в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равна пулю, то иевозмущенное движение устойчиво. [39]
Невозмущенное движение х ( t) - 0 автономной системы (7.18) асимптотически устойчиво, если существует знакоопреде-ленная функция V ( х) такая, что ее производная V ( х), вычисленная по равенству (7.18), является знакопостоянной функцией знака, противоположного V ( х), и равна нулю вне начала координат только на множестве М, не содержащем целых траекторий. [40]
Всюду внутри этой области, кроме начала координат, функция V ( Уъ Ун, , Уп) отлична от нуля и имеет значения одного и того же знака. Такие функции называют знакоопределенными. Кроме этого, существует еще понятие знакопостоянной функции, которая может принимать в области нулевые значения не только в начале координат, в остальных же точках она сохраняет постоянство знака. [41]
Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [42]
В книге излагается наиболее эффективным метод исследования устойчивости - прямой, метод Ляпунова. Основное нцимяние уделено изучению ноных критериев устойчивости. Много места отведено применению знакопостоянных функций к решению конкретных задач. [43]
В главе IV рассмотрен ряд результатов, относящихся к вопросам устойчивости динамических систем с многомерным временем. Здесь с помощью теории фильтрующихся множеств формулируются общие понятия устойчивости и асимптотической устойчивости движений, которые позволяют охватить широкий круг задач, в том числе далеких на первый взгляд от теории дифференциальных уравнений. Установлена тесная связь вопросов устойчивости со свойствами предельных множеств, введенных в предыдущей главе. В терминах функций Ляпунова доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости решений в конусе. Для автономных уравнений и уравнений с периодическими коэффициентами получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости, использующие знакопостоянные функции Ляпунова, предложена процедура, позволяющая в принципе построить область асимптотической устойчивости. [44]