Cтраница 2
Метод экстремальной метрики удобен в теории однолистных функций еще и потому, что он с одинаковой легкостью применяется к задачам об односвязных и многосвязных областях. Кроме того, он используется во многих вопросах, о которых мы не можем здесь говорить, например, при изучении общих регулярных функций [84], и в проблеме классификации римановых поверхностей. [16]
Более важным для приложений к теории однолистных функций оказывается обобщение, которое возникает при одновременном рассмотрении нескольких семейств кривых. [17]
Большое внимание в ряде исследований теории однолистных функций уделяется доказательству того факта, что для рассматриваемого квадратичного дифференциала Q ( z) dz2 множество Ф пусто. Нахождение условий, обеспечивающих пустоту множества Ф, представляет и самостоятельный интерес. Пример квадратичного дифференциала Q ( z) dz2 на z - сфере, для к-рого множество Ф пусто, дает следующая теорема о трех полюсах: если Л есть z - сфера, Q ( z) dz - - квадратичный дифференциал на Л, имеющий не более трех различных полюсов, то множество Ф пусто. [18]
Предел равномерно сходящейся внутри D последовательности аналитических однолистных функций тоже является аналитической однолистной функцией или тождественной постоянной. [19]
Функция f ( z ] называется однолистной функцией в области G, если в различных точках z этой области она принимает различные значения. [20]
Очевидно, что функция, обратная к однолистной функции, будет однозначной. [21]
Ряд работ, относящихся к проблеме коэффициентов однолистных функций, принадлежит Г о л у з и н у. В самое последнее время ему удалось серьезно продвинуть, впервые после известной работы Литтль-вуда, решение задачи о возможно точной оценке коэффициентов любой функции класса Кг. [22]
Исследования вопросов покрытий и искажений в теории однолистных функций ( класс Rt) оказывали в последнее время значительное влияние на развитие исследований в общей теории; работы советских ученых, относящиеся к этой области, прореферированы в предыдущем параграфе. [23]
Очевидно, что функция, обратная к однолистной функции, будет однозначной. [24]
Особый интерес с точки зрения исследования свойств однолистных функций внутри единичного круга, общих для того или иного класса этих функций, представляет весь класс однолистных, регулярных или мероморфных в круге z 1 функций. [25]
Отметим еще один факт, относящийся к однолистным функциям. [26]
In z, то эта ветвь является однолистной функцией в данной области и отображение wln г этой области является конформным. [27]
Греч [49-66] был первым, кто разрабатывал теорию однолистных функций единообразно и единым методом, а именно методом экстремальной метрики. Несколько лет спустя Грунский [72] изучил ряд тех же проблем методом контурного интегрирования. [28]
Метод Левнера постоянно используется в работах по теории однолистных функций. Он часто приводит к успеху при получении явных оценок, но, как правило, не обеспечивает описания экстремальных функций и полной-информации об их единственности. Метод был также распространен на функции, определенные в областях, отличных от единичного круга, в частности, в круговых кольцах [116], но при этом формальные усложнения оказались столь большими, что здесь было получено мало конкретных результатов. [29]
Известные экстремальные свойства ( Бибербаха, Жюлиа) однолистной функции, нормирование отображающей данную односвязную область на круг и вытекающие из этих свойств теоремы о специальных полиномиальных приближениях этой однолистной функции, были распространены в ряде работ X а ж а-лия [1-6] на функции, однолистно отображающие двухсвязную область на круговое кольцо. [30]