Cтраница 4
Хл ( 0 ХА р) - любые вещественные числа, при р достаточно большом. Теория почти-периодических функций, представляющих существенное обобщение периодических функций, которые соответствуют частному случаю, когда все числа ХЛ соизмеримы, - одно из крупнейших достижений анализа последнего времени. Но почти-периодические функции, конструктивно определяемые ( подобно непрерывным периодическим функциям) условием, что их наилучшее приближение тригонометрическими суммами ( 7) стремится к нулю при р-оо, далеко не исчерпывают всей совокупности равномерно непрерывных на всей вещественной оси функций. Для этой цели необходимо использование более обширного класса так называемых целых функций конечной степени, включающего суммы ( 7) как частный случай. [46]
В главе - III мы рассматриваем вновь выражения, подобные (1.03), где, однако, функции / ( х) не стремятся к пулю при х - ею, в то время, как функции, рассмотренные в главе I, в некотором смысле малы на бесконечности. Весьма важным приложением является теория Бора почти-периодических функций. Мы будем называть преобразование, которое Переводит / ( jc-f - X) в / ( х) ( X-вещественное) сдвигом. Понятие почти-периодичности, похожее на понятие периодичности, инвариантно относительно сдвига функции, а потому связано с рассмотрением операторов замкнутого цикла и гармоническим анализом - разложением на функции вида ешх. [47]
Тривиально доказывается, что функция / ( х) почти-периодична, если f ( х) почти-периодична. Наконец, / ( х) - почти-периодическая функция, если f ( х) почти-периодична. [48]
Поразившим меня некогда примером могут служить почти-периодические функции. Должен признаться: будучи студентом, я однажды принимал участие в семинаре по почти-периодическим функциям, но едва ли я понял, что же собственно представляют собой эти функции. Позднее, в один прекрасный день, я прочитал новую-абстрактную-формулировку С. [49]