Cтраница 3
Число / входит и в уравнение данной задачи, а вместо пг имеется некоторое число s, определяющее собственную функцию уравнения, содержащего только абсолютную величину скорости. [31]
Если граничные условия на концах интервала требуют обращения в нуль самой функции X ( х) или ее первой производной, то собственные функции уравнения (12.12) ортогональны в этом интервале. [32]
Если граничные условия на концах интервала требуют обращения в нуль самой функции Х ( х) или ее первой производной, то собственные функции уравнения (12.12) ортогональны в этом интервале. Для доказательства этого утверждения предположим, что имеются два решения Хп и Хт, соответствующие собственным значениям Хп и Хт. Умножим теперь уравнение для Хп на Хт, а уравнение для Хт на Хп. [33]
Если К - характеристическое значение уравнения, то необходимым и достаточным условием его разрешимости является ортогональность f ( s) ко всем собственным функциям уравнения ( 188), соответствующим характеристическому значению К. Если это условие выполнено, то уравнение ( 187) имеет бесчисленное множество решений. [34]
Используя ( 17), можно прямым, хотя иногда довольно кропотливым дифференцированием ( удостовериться, что приведенные в табл. 1 функции действительно являются собственными функциями уравнения ( 20) и что собственные величины таковы, как упоминалось. [35]
Используя ( 17), можно прямым, хотя иногда довольно кропотливым дифференцированием, удостовериться, что приведенные в табл. 1 функции действительно являются собственными функциями уравнения ( 20) и что собственные величины таковы, как упоминалось. [36]
Мы уже видели ( § 4 этой главы), что при работе с волновым уравнением Шредингера интерес представляют однозначные и конечные его решения - так называемые собственные функции уравнения. Оказывается, что, вообще говоря, эти решения обладают определенной симметрией относительно отражения осей координат около начала, коль скоро гамильтониан симметрией относительно этого преобразования. Те функции, которые при этой операции остаются неизменными, называют четными, а те, которые меняют знак, - нечетными. То, что весь результат такого преобразования сводится лишь к возможному изменению знака, удается усмотреть из такого простого примера. [37]
Значения параметра Е, при которых уравнение (1.6) имеет решение, называются собственными значениями этого уравнения, а соответствую щие этим значениям выражения для волновой функции W называют собственными функциями уравнения. Каждому собственному значению энергии соответствует определенная собственная функ ция, характеризующая вероятность распределения частиц при данном значении энергии. [38]
В теоретических исследованиях, прежде всего устойчивости холодно-то диска [226, 228, 333], точные решения в виде ( 17), ( 21) оказываются малоудобными и часто используются представления решений в виде - рядов по разным полным системам собственных функций уравнения Пуассона для плоского слоя. Эти системы функций соответствуют, как мы увидим, мультипликативным решениям уравнения Лапласа, получакх-щимся при разделении переменных в той или иной системе координат. [39]
Выбирая я достаточно большим, получим регулярное ядро. Совершенно аналогично и собственные функции уравнения ( 240) должны быть непрерывными функциями. [40]
Предполагается, что собственные значения А 4 расположены в порядке увеличения индекса, а Я0 равно нулю. Собственные значения и собственные функции уравнения (13.21) могут быть, конечно, и комплексными. Но существенно то, что собственные значения уравнения (13.21) могут быть расположены в порядке возрастания величины действительной части. [41]
Когда совпадают два или больше собственных значений, соответствующих какому-то вырожденному состоянию системы, то и в этом случае можно без потери общности принять, что соответствующие собственные функции ортогональны друг другу. Обычно предполагают, что совокупность всех нормированных собственных функций уравнения (1.1.1) образует полную ортонормированную систему. Это означает, что любая функция из одного и того же класса функций может быть представлена как линейная комбинация базисных функций Ч 1 полной системы с любой требуемой точностью при условии, что взято достаточное число функций в этой комбинации. [42]
Эти особые значения параметра а называются характеристическими числами данного уравнения. Функция f ( x) называется фундаментальной, или собственной функцией уравнения. [43]
Если N 0 и М L, то этот метод переходит в метод наименьших квадратов. Метод Ритца в том случае, когда в качестве приняты собственные функции уравнения L ( и) и, также представляет частный его случай. Специально для уравнений в частных производных Л. В. Канторовичем ( Л. В. Канторович [1], Л. В. Канторович и В. И. Крылов [1, 2]) развит особый вариационный метод - приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Он состоит втом, что задача нахождения функции двух переменных и ( к, у) заменяется разысканием одной или нескольких функций одного переменного Л ( х) значений неизвестной функции на нескольких линиях. [44]
Отсюда, между прочим, непосредственно вытекает, что если мы к собственным функциям уравнения ( 41) присоединим р0 ( х), то получится замкнутая система. Введение нового параметра, как мы увидим на дальнейшем примере, может осложнить интегрирование того уравнения, которое служит для определения обычной функции Грина. В следующем параграфе мы применим обобщенную функцию Грина к рассмотрению предельной задачи, приводящей к полиномам Ле-жандра. В этом случае на обоих концах промежутка функция р ( х) обращается в нуль, и роль предельных условий играет требование конечности решения на концах промежутка. [45]