Cтраница 2
Пусть X - компактное пространство и И - множество непрерывных числовых функций на X, отделяющее его точки. При этих условиях шькое непрерывное отображение пространства X в нормированное, пространство Y над 11 равномерно аппроксимируемо полиномами с коэффициентами из Y относительно, функций из И. [16]
В ( X; R), образолапнан всеми ограниченными непрерывными числовыми функциями на X. [17]
Можно, показать, что в пространстве ( /) всех непрерывных числовых функций на компактном интервале / a R, наделенном топологией равномерной сходимости ( являющемся польским пространством), множества всех дифференцируемых функций не является суслинским, но имеет суслинское дополнение ( см. S. [18]
Доказательство следует из последнего утверждения следствия 1 и того факта, что любая непрерывная числовая функция, определенная на компакте, достигает на нем своих экстремальных значений. [19]
Я; 3 II отделяет точки пространства Е, При этих условиях всякая непрерывная числовая функция на Е равномерно аппроксимируема функциями из / / ( гл. [20]
Пусть А - не более чем счетное замкнутое множество в R и / - непрерывная числовая функция, определенная пп R. Если / постоянна на каждом из смежных с А интервалов, то она постоянна па R. [21]
В главе IV ( § ( 5, следствие теоремы 4) мы видели, что верхняя огибающая семейства непрерывных числовых функций на топологическом пространство есть полунепрерывная снизу функция. [22]
Посредством переноса структуры заключаем отсюда, что всякая полунепрерывная снизу числовая функция / на равпомерпяуемом пространстве Е есть верхняя огибающая непрерывных числовых функций; / на Е, не принимающих значения -) - оо. [23]
ВИНЕРА МЕРА, в и и е р о в с к а я м е р а - вероятностная мера ( j, , определенная на пространстве t fO, 1 ] непрерывных числовых функций x ( t), заданных на отрезке [ О, 1 ], следующим образом. Ап - борелевские множества на прямой. [24]
О А, существует непрерывное отображение пространства Е в [0, 1.], равное 0 в точке х и 1 во всех точках из А; это свойство выражают еще, говоря, что в равноме-ривуемом пространство точка и замкнутое множество ( не содержащее эту точку) отделимы непрерывной числовой функцией. [25]
Пусть / / - некоторое мпожестло непрерывных числовых функций-на компактном пространстве Е, отделяющее его точки. Тогда всякая непрерывная числовая функция на Е равпомерпо аппроксимируема полиномами относительно функций из II ( теорема Вей-ерштрасса - Стоуна) ( гл. [26]
Для того чтобы непрерывная числовая функция / на X была равномерно аппроксимируема полиномами ( соотв. Я, необходимо и достаточно, чтобы / была постоянной на каждом классе эквивалентности no R ( соотп. [27]
Рассмотренные свойства покрытий связаны с существованием на X определенного вида семейств непрерывных функций. Семейство ( fi) непрерывных числовых функций на топологическом пространстве X называется ( непрерывным) разбиением единицы, если 0 - / г - 1 и 2 / ili причем это семейство локально ко пенно в том смысле, что каждой точке х е X соответствует такая ее окрестность U, что fi ( U) 0 для всех индексов f, за исключением, быть может, конечного числа. [28]
Пусть Е - топологическое пространство, содержащее всюду плотное не более чем счетное множество. Показать, что множество всех непрерывных числовых функций на Е имеет мощность континуума. [29]
В частности, каждое гильбертово пространство слабо полно. Напротив, пространство С [0, 1] непрерывных числовых функций на [ О, 1 ] не является слабо полным пространством. [30]