Cтраница 3
СВЯЗНОЕ ПРОСТРАНСТВО - топологическое про странство, к-рое нельзя представить в виде суммы двух отделенных друг от друга частей или, более строго, непустых непересекающихся открыто-замкнутых подмножеств. Пространство связно тогда и только тогда, когда каждая непрерывная числовая функция принимает на нем все промежуточные значения. Каждое связное вполне регулярное пространство имеет мощность не менее континуума, хотя существуют и счетные связные хаусдорфовы пространства. [31]
А и множества х, где х пробегает СМ; факторпространство X - XIR отделимо ( гл. Пусть ip - каноническое отображение X на XIВ; всякая непрерывная числовая функция на X, равная нулю на всем А, может быть записана в виде / /, ф, где / х - числовая функция, определенная и непрерывная на X и равная нулю в точке х 0 ср ( А); применяя предложение к пространству X и точке х 0, получаем требуемый результат для общего случая. [32]
Что касается мер Радона, то связанные с ними топологические векторные пространства строятся следующим образом. Сначала берется минимальное пространство G / ( Г), состоящее из непрерывных числовых функций на Т, имеющих компактный носитель. [33]
Для доказательства того, что 0) влечет а), использовать упражнение 5 и заметить, что на предкомпактпом пространстве всякая равномерно непрерывная числовая функция ограниченна. Чтобы доказать, что Y) влечет 0), заметить, что если Е по предкомпактно в равномерной структуре 11, то существуют симметричное окружение V вток структуры и последовательность ( я) точен из Е такие, что множества V ( хп попприо не пересекаются. [34]
С периода 1920 - 1930 годов начинается целый ряд предпринятых московской школой исследований, посвященных свойствам топологии метрического пространства, направленных, в частности, на получение необходимых - и достаточных условий для того чтобы заданная топология была метризуе. Именно это развитие идей привлекло интерес к понятию нормального пространства, которое было сформулировано Тптцо и 1923 г., но важная роль которого выявилась только благодаря ряду работ Урысоиа ( VI) о продолжении непрерывных числовых функций. Не считая тривиального случая - функции одной вещественной церемонной, проблема продолжения па все пространство непрерывной числовой функции, определенной па замкнутом множестве, была впервые рассмотрена ( для случая плоскости) А. [35]
С периода 1920 - 1930 годов начинается целый ряд предпринятых московской школой исследований, посвященных свойствам топологии метрического пространства, направленных, в частности, на получение необходимых - и достаточных условий для того чтобы заданная топология была метризуе. Именно это развитие идей привлекло интерес к понятию нормального пространства, которое было сформулировано Тптцо и 1923 г., но важная роль которого выявилась только благодаря ряду работ Урысоиа ( VI) о продолжении непрерывных числовых функций. Не считая тривиального случая - функции одной вещественной церемонной, проблема продолжения па все пространство непрерывной числовой функции, определенной па замкнутом множестве, была впервые рассмотрена ( для случая плоскости) А. [36]