Cтраница 2
В квантовом случав ограничиваются рассмотрением только гамильтоновых систем, поскольку для негамильтоновых классических систем квантова ние, заключающееся в сопоставлении каноническим импульсам и координатам операторов р, q со стандартными коммутационными соотношениями qips - pjq ( Йбу, не однозначно. [16]
Из того, что Мх, My M2, и из соотношения Р / 0 вытекает, что две компоненты вектора момента импульса не могут быть одновременно каноническими импульсами. С другой стороны, УИ2, Мх 0, так что абсолютная величина полного момента импульса может быть каноническим импульсом одновременно с одной из своих компонент ( ср. [17]
Из того, что Мх, My Мг, и из соотношения / 7 / р / 0 вытекает, что две компоненты вектора момента импульса не могут быть одновременно каноническими импульсами. С другой стороны, М2, МА - 0, так что абсолютная величина полного момента импульса может быть каноническим импульсом одновременно с одной из своих компонент ( ср. [18]
Канонические импульсы ра ( и тем самым начало координат в Т ( Ме)) не являются калибровочно инвариантными, тогда как ха калибровочно инвариантны. [19]
В действительности, поскольку величина Л коммутирует с ж0, она является с-числом, а не оператором, и мы сразу утрачиваем ковариантность. Чтобы определить канонический импульс те0, не равный нулю, нам необходимо изменить лагранжиан. Этот новый лагранжиан, конечно, не будет давать уравнения Максвелла. Спрашивается: что мы получим взамен. Таким образом, мы ищем лагранжиан, который дает это уравнение движения и в котором уже фиксировано условие лоренцевой калибровки. [20]
Как известно, выражения для S-матрицы в любой теории можно записать в виде континуального интеграла в фазовом пространстве fdpdtpexp [ i f dx ( pq - H ( p, cp)) ] по независимым каноническим переменным. В киральных теориях интегрирование по каноническому импульсу р приводит к выражению (32.7), которое является прямым обобщением на риманово пространство континуальных интегралов по полям в обычных полевых пространствах. [21]
В некоторых отношениях электромагнитное поле представляет собой неудачный пример. Одной из трудностей здесь является отсутствие в 8 производной ф и, следовательно, отсутствие канонического импульса, соответствующего ф, что затрудняет применение метода Гамильтона, изложенного в § 11.4. В сущности, источник появляющихся здесь трудностей заключается в том, что скалярный и векторный потенциалы являются не вполне независимыми, так как они связаны между собой так называемым калибровочным условием. Оно является дополнительным условием, позволяющим исключить одну из обобщенных координат и оставить только независимые координаты. [22]
Из того, что Мх, My M2, и из соотношения Р / 0 вытекает, что две компоненты вектора момента импульса не могут быть одновременно каноническими импульсами. С другой стороны, УИ2, Мх 0, так что абсолютная величина полного момента импульса может быть каноническим импульсом одновременно с одной из своих компонент ( ср. [23]
Из того, что Мх, My Мг, и из соотношения / 7 / р / 0 вытекает, что две компоненты вектора момента импульса не могут быть одновременно каноническими импульсами. С другой стороны, М2, МА - 0, так что абсолютная величина полного момента импульса может быть каноническим импульсом одновременно с одной из своих компонент ( ср. [24]
I, обычно в задачах динамики фазовое пространство М2п совпадает с пространством кокасательного расслоения конфигурационного многообразия JV71, а функция Гамильтона квадратично зависит от канонических импульсов. [25]
Теперь рассмотрим некоторые примеры физических и нефизических величин. Отправным пунктом в этих рассуждениях является тот факт, что операторы г и р ( р - г / iV), связанные с координатой и каноническим импульсом частицы, одинаковы во всех калибровках. То есть р представляется оператором - ihV во всех калибровках. Это гарантирует, что коммутационное соотношение [ rj pfc ] ihfijk выполняется в любой калибровке. [26]
Теперь мы установим эту ковариантность, а также введем лагранжиан, канонические импульсы и гамильтониан. [27]
Мы уже отмечали, что в квантовой механике аналогом скобки Пуассона является квантовомеханический коммутатор. Это относится и к результатам данного параграфа, которые имеют близкие квантовые аналогии. Например, утверждению, что две составляющие L не могут одновременно быть каноническими импульсами, соответствует известное положение о том, что L и LJ не могут одновременно быть собственными значениями. [28]
Вспомним теперь, что если pi up, - два любых канонических импульса, то согласно ( 8.41 Ь) скобка [ pi, Pj ] должна быть тождественно равна нулю. Но согласно (8.80) скобки Пуассона [ Li, LJ ] при / й ( будут отличны от нуля. Следовательно, если одна из составляющих кинетического момента вдоль неподвижных осей выбрана в качестве канонического импульса, то другая составляющая не может одновременно с ней быть каноническим импульсом. [29]
Вспомним теперь, что если pi up, - два любых канонических импульса, то согласно ( 8.41 Ь) скобка [ pi, Pj ] должна быть тождественно равна нулю. Но согласно (8.80) скобки Пуассона [ Li, LJ ] при / й ( будут отличны от нуля. Следовательно, если одна из составляющих кинетического момента вдоль неподвижных осей выбрана в качестве канонического импульса, то другая составляющая не может одновременно с ней быть каноническим импульсом. [30]