Cтраница 2
Топологическое пространство X называется псевдокомпактным, если X - тихоновское пространство и каждая непрерывная вещественная функция на X ограничена. Как легко проверить, последнее условие равносильно тому, что каждая непрерывная вещественная функция на X принимает наибольшее и наименьшее значения. [16]
Кроме того, большое число разнообразных примеров гомеоморфизмов можно получить, рассмотрев различные строго монотонные непрерывные вещественные функции вещественной переменной. В самом деле, легко понять, что непрерывное отображение /: А - - IR1 произвольного интервала Д числовой прямом на его образ / ( А) является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда / - - строго монотонная функция, поэтому гомеоморфный образ любого интервала есть снова интервал. [17]
Лемма Урысона установлена Урысоном [1925]; модификации его рассуждений иногда используются для построения непрерывных вещественных функций ( см. упр. Работа Урысона содержит также теорему 1.5.16. Теорема 1.5.15 была доказана Тихоновым [1925]; доказательство леммы 1.5.14 есть также одно из стандартных топологических рассуждений ( ср. [18]
B Zo, то из ( 4) же следует, что не существует непрерывной вещественной функции на Z, равной нулю на Л и единице на В. [19]
Пусть X - тихоновское пространство; обозначим через С ( Х) семейство всех непрерывных вещественных функций, определенных на X, и через С ( Х) - подсемейство в С ( Х), состоящее из всех ограниченных функций. [20]
Для того чтобы применить теорему 2.2.1, введем банахово пространство C ( F) всех непрерывных вещественных функций на F с обычными поточечными алгебраическими операциями и с нормой, равной максимуму модуля рассматриваемой функции. [21]
Важность теоремы Стоуна - Вейерштрасса в том, что она дает метод равномерной аппроксимации всех непрерывных вещественных функций, определенных на каком-либо компакте X, специальными классами функций. Действительно, каждая непрерывная вещественная функция на X может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована полиномами ( от нескольких переменных) от элементов произвольного фиксированного семейства непрерывных функций, разделяющего точки. Так как для каждого отрезка / ci JR семейство /, состоящее из функции /: J - - R, заданной правилом f ( x) x, разделяет точки, теорема 3.2.21 влечет за собой классическую теорему Вейерштрасса, которая утверждает, что каждая непрерывная вещественная функция на / является пределом равномерно сходящейся последовательности полиномов. [22]
Ляпунов в своей знаменитой диссертации [64] отмечал, что, если вместо времени взять какую-либо непрерывную вещественную функцию, вместе со временем возрастающую, то последняя при решении вопроса об устойчивости может играть такую же роль, как и время. [23]
Нах-бин в [1950] независимо определил тот же класс пространств в терминах равномерностей - а именно условием, что слабейшая равномерность, относительно которой все непрерывные вещественные функции равномерно непрерывны, полна ( см. примеры 8.1.19, 8.3.19 и упр. Более простой пример был приведен Мысьором в [1981]; как заметид Р. Л. Блэр ( на него ссылается Исбелл в [ 1962а ]), примеры такого рода показывают, что вещественная полнота может не сохраняться совершенными отображениями. Книга Гиллиана и Джерисона [1960] содержит важное развитие теории вещественно полных пространств. [24]
Покажите, что это соответствие определяет изометрию между пространством всех ограниченных непустых замкнутых подмножеств пространства ( X, р) с хаусдорфовой метрикой ря и пространством всех ограниченных непрерывных вещественных функций на X с метрикой 6, определенной формулой ( 7) § 4.2, где а - естественная метрика на вещественной прямой. [25]
Мы здесь становимся на точку зрения теории функций и даже более узко функций вещественного переменного, где методы теории наилучшего приближения обнаружили свою особую плодотворность, дав глубокую алгебраическую базу для изучения и общей классификации непрерывных вещественных функций. [26]
Важность теоремы Стоуна - Вейерштрасса в том, что она дает метод равномерной аппроксимации всех непрерывных вещественных функций, определенных на каком-либо компакте X, специальными классами функций. Действительно, каждая непрерывная вещественная функция на X может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована полиномами ( от нескольких переменных) от элементов произвольного фиксированного семейства непрерывных функций, разделяющего точки. Так как для каждого отрезка / ci JR семейство /, состоящее из функции /: J - - R, заданной правилом f ( x) x, разделяет точки, теорема 3.2.21 влечет за собой классическую теорему Вейерштрасса, которая утверждает, что каждая непрерывная вещественная функция на / является пределом равномерно сходящейся последовательности полиномов. [27]
Пусть X - совокупность всех непрерывных вещественных функций на фиксированном невырожденном отрезке [ а, Ь ]; X - вещественное векторное пространство относительно операций сложения функций и умножения функции на число. [28]
Последний параграф посвящен пространствам отображений. Вводятся топология равномерной сходимости на множестве непрерывных вещественных функций и топология поточечной сходимости на множестве непрерывных отображений. Параграф завершается обсуждением приемлемых топологий на пространствах отображений. Та же тема рассматривается далее в § 3.4, где определяется другая топология па пространствах отображений и доказываются более глубокие результаты. [29]
В рассмотренных примерах фигурировали промежутки, на которых среди непрерывных функций имеются как равномерно, так и не равномерно непрерывные. Однако есть класс промежутков, на которых всякая непрерывная вещественная функция равномерно непрерывна, - отрезки. И дело здесь в том, что они компакты, причем само свойство распространяется на отображения компактов в любые метрические пространства. [30]