Cтраница 3
Как показано в § 1.4, пространство Rx является кольцом функций, содержащим все константы и замкнутым относительно равномерной сходимости. Для компактов верно и обратное: каждое кольцо непрерывных вещественных функций на компакте X, удовлетворяющее указанным выше условиям, совпадает со всем Rx. Доказательству этой теоремы будут предпосланы три леммы, Вторая из них является частным случаем хорошо известной теоремы из курса анализа; она включена для полноты. Первая лемма нужна только для доказательства второй. [31]
Топологическое пространство X называется псевдокомпактным, если X - тихоновское пространство и каждая непрерывная вещественная функция на X ограничена. Как легко проверить, последнее условие равносильно тому, что каждая непрерывная вещественная функция на X принимает наибольшее и наименьшее значения. [32]
С-пространства - может быть произведено многими способами. Так, на языке стоунов-ской реализации можно охарактеризовать 6 как пространство всех непрерывных вещественных функций на компакте Q, конечных всюду, за исключением, может быть, точек некоторого нигде не плотного множества. Имеется другой путь, состоящий в истолковании как системы всевозможных разложений единицы. Последнему понятию и посвящен следующий параграф. [33]
В силу последней теоремы, пространство ( У, а) всех ограниченных непрерывных вещественных функций на X, где а ( /, g) sup / ( х) - g ( х), полно. [34]
Существуют топологические пространства, на которых можно задать очень мало непрерывных функций, а также пространства, на которых кроме функции, равной константе, нет других непрерывных вещественных функций. Тривиальным примером такого пространства является антидискретное пространство. [35]
Они не могут быть построены непосредственно; чтобы получить их, нужно знать некоторые методы построения более сложных пространств из более простых. Отметим, что существуют даже такие регулярные пространства, на которых каждая непрерывная вещественная функция постоянна. [36]
Важность теоремы Стоуна - Вейерштрасса в том, что она дает метод равномерной аппроксимации всех непрерывных вещественных функций, определенных на каком-либо компакте X, специальными классами функций. Действительно, каждая непрерывная вещественная функция на X может быть сколь угодно хорошо аппроксимирована полиномами ( от нескольких переменных) от элементов произвольного фиксированного семейства непрерывных функций, разделяющего точки. Так как для каждого отрезка / ci JR семейство /, состоящее из функции /: J - - R, заданной правилом f ( x) x, разделяет точки, теорема 3.2.21 влечет за собой классическую теорему Вейерштрасса, которая утверждает, что каждая непрерывная вещественная функция на / является пределом равномерно сходящейся последовательности полиномов. [37]
Тогда говорят, что f непрерывно продолжается, или, короче, продолжается на пространство X; отображение F называется продолжением отображения f на X. Не всякое непрерывное отображение, определенное на некотором подпространстве, имеет непрерывное продолжение на все пространство. Теоремы, дающие достаточные условия продолжимости непрерывных отображений или непрерывных вещественных функций, принадлежат к наиболее важным теоремам топологии и обычно достаточно трудны. Заметим, что лемма Урысона может быть переформулирована как теорема такого типа. [38]
Применим теперь две последние теоремы, чтобы получить простое доказательство того, что плоскость Немыц-кого не является нормальной ( ср. Как мы уже знаем, плоскость Немыцкого L содержит замкнутое подпространство LI, гомеоморфное D ( c), и счетное всюду плотное подмножество С. Из 2.1.9 вытекает, что каждая непрерывная функция из L в определяется своим сужением на множество С. Таким образом, на L существует только с с непрерывных вещественных функций. Если же пространство L было бы нормальным, то каждая из 2е непрерывных вещественных функций, определенных на L, могла бы быть продолжена на L, что невозможно, ибо 2е с. Следовательно, пространство L не является нормальным. [39]
Наследственным свойством является так называемая полная регулярность топологических пространств, представляющая собой важное усиление свойства регулярности. Всякое нормальное пространство вполне регулярно2), но не обратно. Любое подпространство вполне регулярного ( в частности, нормального) пространства само вполне регулярно. С точки зрения анализа вполне регулярные пространства важны потому, что на всяком таком пространстве имеется достаточно много непрерывных функций, именно, для любых различных точек х, у вполне регулярного пространства Т существует определенная на Т непрерывная вещественная функция, принимающая в этих точках различные значения. [40]
Применим теперь две последние теоремы, чтобы получить простое доказательство того, что плоскость Немыц-кого не является нормальной ( ср. Как мы уже знаем, плоскость Немыцкого L содержит замкнутое подпространство LI, гомеоморфное D ( c), и счетное всюду плотное подмножество С. Из 2.1.9 вытекает, что каждая непрерывная функция из L в определяется своим сужением на множество С. Таким образом, на L существует только с с непрерывных вещественных функций. Если же пространство L было бы нормальным, то каждая из 2е непрерывных вещественных функций, определенных на L, могла бы быть продолжена на L, что невозможно, ибо 2е с. Следовательно, пространство L не является нормальным. [41]
Далее рассматривается также пространство R, где R - вещественная прямая с обычной топологией, порожденной метрикой или порядком. Очевидно, R - множество всех вещественных функций на X. В R выделяется подмножество С ( Х), состоящее из всех непрерывных на пространстве X вещественных функций. Наделенное топологией подпространства топологического произведения множество С ( Х) обозначается СР ( Х) и называется пространством непрерывных вещественных функций на X в топологии поточечной сходимости. [42]
Наследственным свойством является так называемая полная регулярность топологических пространств, представляющая собой важное усиление свойства регулярности. Топологическое - пространство называется вполне регулярным, если для каждого замкнутого множества Fc. Всякое нормальное пространство вполне регулярно2), но не обратно. Любое подпространство вполне регулярного ( в частности, нормального) пространства само вполне регулярно. С точки зрения анализа вполне регулярные пространства важны потому, что на всяком таком пространстве имеется достаточно много непрерывных функций, именно, для любых различных точек х, у вполне регулярного пространства Т существует определенная на Т непрерывная вещественная функция, принимающая в этих точках различные значения. [43]