Cтраница 2
Напомним, что всякая целая рациональная функция интегрируется сразу и приводит при этом снова к целой рациональной функции. Нам нужно поэтому сосредоточить внимание исключительно на дробных рациональных функциях, у которых знаменатель отличен от постоянной. [16]
Мы знаем, что целая рациональная функция степени п имеет единственную особую точку - полюс порядка п в бесконечности ( гл. [17]
Следующими по сложности после целых рациональных функций ( полиномов) являются дробные рациональные функции. Эти функции могут быть заданы при помощи конечного числа арифметических операций, выполняемых над переменной г и постоянными коэффициентами. При этом операция деления на переменную г должна обязательно быть для того, чтобы дробная рациональная функция не являлась полиномом. [18]
Так как отдельные члены целых рациональных функций являются либо постоянными, либо степенями х, то дифференцирование целой рациональной функции легко выполняется по данным выше правилам. [19]
Разности / 1-го порядка целой рациональной функции га-й степени постоянны. [20]
Если г / будет целой рациональной функцией количества х, то се высшие дифференцтлы в конце концов исчезнут, и мы, поступая по этому способу, в конце концов придем к исчезающим выражениям. [21]
Правая часть этого равенства представляет собой целую рациональную функцию от 5 и z; при этом по значениям коэффициентов А, В, С можно усмотреть, что эта функция относительно z - четвертой степени, а относительно s - только третьей. Когда правая часть равенства (50.45) обращается в нуль, то выражение (50.44) становится полным квадратом. [22]
Правая часть этого равенства представляет собой целую рациональную функцию от s и z; при этом по значениям коэффициентов А, В, С можно усмотреть, что эта функция относительно z - четвертой степени, а относительно 5 - только третьей. Когда правая часть равенства (50.45) обращается в нуль, то выражение (50.44) становится полным квадратом. [23]
Данная функция, как и всякая целая рациональная функция, существует при любом действительном значении аргумента х: х ( Е R. Говорят также, что данная функция определена на всей действительной оси. [24]
В этом параграфе мы определяем производные целой рациональной функции для произвольного кольца многочленов без использования непрерывности. [25]
В курсе математического анализа изучаются, помимо целых рациональных функций, названных нами многочленами, также дробно-рациональные функции; это будут частные - - двух целых рациональных функций, где g ( x) f Q. Равенство двух дробно-рациональных функций или, как мы будем дальше говорить, рациональных дробей также понимается В том же смысле, что и равенство дробен в элементарной арифметике. [26]
Как и у функций одной переменной, простейшими являются целые рациональные функции или многочлены. [27]
В частности, из этого сразу вытекает непрерывность всех целых рациональных функций, а также всех дробных рациональных функций повсюду, за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль. То, что и прочие элементарные функции, как, например, тригонометрические, также непрерывны, получится как естественное следствие наших последующих рассуждений ( ср. [28]
Одной из фундаментальных задач алгебры является вопрос о разложении целой рациональной функции на произведение линейных множителей. Рассматривая произвольную целую функцию, естественно поставить задачу об изображении этой функции в виде произведения множителей, благодаря которому становятся очевидными все нули этой функции. Частично этот вопрос рассматривал Коши, но только Вейерштрассу удалось распространить основную теорему алгебры на любые целые функции. [29]
Одной из фундаментальных задач алгебры является вопрос о разложении целой рациональной функции на произведение линейных множителей. [30]