Cтраница 1
Билинейная функция b называется симметричной, если Ъ ( х, у ] Ъ ( у, х для любых векторов х, у Е С. По данной квадратичной функции порождающая ее симметричная билинейная функция восстанавливается однозначно. [1]
Эрмитова билинейная функция называется симметричной ( эрмитовой), если Ь ( ж, у) h ( у, ж) для всех ж, у G С. Ее матрица эрмитова: ВТ В. [2]
Примером симметрической билинейной функции может служить скалярное произведение. Последний пример является вполне об-щим / так как и, обратно, каждая симметрическая билинейная функция А ( х, у) удовлетворяет, очевидно, условиям I-3 из § 1 главы IV и, значит, может быть принята за скалярное произведение. [3]
Представить билинейную функцию в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных функций и перейти к базису, в котором симметрическая функция имеет канонический вид. [4]
В - симметричная билинейная функция на X, причем квадратичная форма / н - B ( f, /) неотрицательна. [5]
Какие из билинейных функций задачи 37.1 являются симметрическими. [6]
Какие из симметрических билинейных функций задач 37.1 и 37.5 являются положительно определенными. [7]
Доказать, что билинейная функция Ь ( х, у), данная в действительном я-мерном пространстве ( или в - мерном пространстве шд полем характеристики, не равной двум), тогда и только тогда является симметрической, когда она имеет канонический базис, в котором она записывается билинейной формой канонического вида: Ь ( х, у) V i - - Я 2дг2у2 - f - Ъпхяуп. [8]
Покажите, что общая билинейная функция трех переменных х, у и г может быть записана как линейное преобразование х, у, г и ш, если используются однородные координаты. [9]
Пусть / - кососимметрическая билинейная функция на пространстве V, V - ее ядро, W - максимальное вполне изотропное подпространство. [10]
Доказать, что ненулевая кососимметрическая билинейная функция в трехмерном пространстве представляется в виде b ( х, у) а ( х) Ь ( у) - а ( у) Ь ( х), где а ( х) и Ь ( х) - линейные функции. [11]
Доказать, что ненулевая кососимметрическая билинейная функция в трехмерном пространстве представляется в виде Ъ ( х, у) ка ( х) Ь ( у) - а ( у) Ь ( х), где а ( х) и b ( х) - линейные функции. [12]
Теорема 23.2. Для любой симметрической билинейной функции, определенной в конечномерном пространстве, существует такой базис пространства, в котором матрица этой функции диагональна. Для любой симметрической эрмитовой билинейной функции, определенной в конечномерном пространстве, существует такой базис пространства, в котором матрица этой функции диагональна и действительна. [13]
Доказать, что если симметрическая билинейная функция Ь ( х, у), заданная в линейном пространстве V ( необязательно конечномерном), распадается на две линейные функции: Ь ( х, у) 1 ( х) 1 % ( у), то она представляется в виде Ь ( х, у) А / ( х) I ( у), где А - число, отличное от нуля, и 1 ( х) - линейная функция. [14]
Можно показать, что наиболее общая билинейная функция от пары коспипоров может быть представлена в виде (4.4), если выбрать надлежащим образом полипом S. Но, конечно, такое представление не однозначно: различные полиномы S, S могут задавать одну и ту же функцию. [15]