Cтраница 1
Многозначные аналитические функции могут иметь особые точки1 нового типа по сравнению с рассмотренными в главе III - точ. [1]
Идея рассматривать многозначную аналитическую функцию как однозначную функцию на поверхности была впервые высказана замечательным немецким математиком Бернгардом Риманом. Поэтому поверхности, на которых определена аналитическая функция, принято называть римановыми поверхностями. Развитие идей, связанных с понятием римановой поверхности, не входит в план этой книги. [2]
Идея рассматривать многозначную аналитическую функцию как однозначную функцию на поверхности, была впервые высказана замечательным немецким математиком Бернгардом Риманом. Поэтому поверхности, на которых определена аналитическая функция, принято называть римановыми поверхностями. Развитие идей, связанных с понятием римановой поверхности, не входит в план этой книги. [3]
Исключительно важное значение в теории многозначных аналитических функций имеет следующая теорема. [4]
Эти дифференциалы соответствуют, вообще говоря, многозначным аналитическим функциям w без особенностей на R, которые называются абелевыми интегралами первого рода. [5]
Идея построения таких функций заключается в возможности рассматривать многозначную аналитическую функцию в соответствующим образом разрезанной плоскости как однозначную разрывную. [6]
Кроме функций Inz и za среди элементарных функций многозначными аналитическими функциями являются еще обратные тригонометрические функции. В этом параграфе мы не будем решать для обратных тригонометрических функций задачи, поставленные в начале параграфа. [7]
Кроме функций Inz и z среди элементарных функций многозначными аналитическими функциями являются еще обратные тригонометрические функции. В этом параграфе мы не будем решать для обратных тригонометрических функций задачи, поставленные в начале параграфа. [8]
Идея Вейерштрасса остается основой любого современного подхода к понятию многозначной аналитической функции, хотя описание способа аналитического продолжения меняется. [9]
Сейчас мы переходим к изложению некоторых общих приемов исследования многозначных аналитических функций. Для упрощения формулировок удобно пользоваться терминами, которые мы определим. [10]
Надо сказать, что сама постановка задачи о конформном отображении области многозначными аналитическими функциями несколько искусственна. Естественная задача состоит в построении взаимно однозначного конформного отображения произвольной римановой поверхности. [11]
Если D - неодносвязная область, то решение уравнения ( 1) может быть многозначной аналитической функцией. [12]
Обобщение этого понятия приводит к обобщению понятия регулярной функции - а именно, к понятию многозначной аналитической функции. [13]
Понятие униформизации римановых поверхностей и более общих многообразий возникло в математике в прошлом веке в связи с детальным изучением многозначных аналитических функций. Рассмотрение простейших примеров показывает ее суть: нужно построить универсальную накрывающую М для данного многообразия М, где соответствующие функции ( в силу односвязности М) и будут однозначными. Построение накрывающих приводит к рассмотрению областей евклидова пространства и соответствующих дискретных групп конформных автоморфизмов этих областей. Оказывается, что при подходящем выборе областей эти автоморфизмы будут мебиусовыми, а группы G - разрывными и даже с инвариантной односвязной компонентой Q множества разрывности. Тогда исходное ( униформизируемое) многообразие М конформно эквивалентно многообразию Q / G. При этом многозначная аналитическая на М функция / в терминах универсального конформного накрытия л: Q - - Q / G, т.е. функция / оя, становится однозначной. [14]
Заметпм, что в этом отношении плоские задачи теории пластичности по свойствам своих решений аналогичны проблемам, относящимся к области многозначных аналитических функций комплексного переменного. Подобно тому, например, как значения одной ветви корня квадратного из комплексного переменного zx - - i - iy могут быть изображены на одном листе, а значения другой ветви этого корня-на втором листе, причем оба листа образуют риманову поверхность, нечто аналогичное имеет место и в решениях задач плоского пластического течения, где мы имеем дело с дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. [15]