Cтраница 2
Во всем дальнейшем изложении мы будем считать функцию / ( z) однозначной и мероморфной - мы особо выделяем условие однозначности, чтобы подчеркнуть, что для многозначных аналитических функций излагаемая теория не имеет места. [16]
Понятие униформизации, являющееся одним из основных в комплексном анализе и других областях математики, было введено классиками еще во второй половине прошлого века, когда началось детальное изучение многозначных аналитических функций. [17]
Если область S, занятая телом, односвязна, то аналитические функции, участвующие в общих комплексных представлениях, однозначны; в случае многосвязной области это, вообще говоря, многозначные аналитические функции. [18]
Если в окрестности точки z0 ф 0 выделить какую нибудь однозначную и непрерывную ветвь аргумента ( обозначим ее через argz), то соответствующая однозначная ветвь логарифма logz log z i args окажется аналитической функцией; в этом смысле Logz называют многозначной аналитической функцией. [19]
Всякий элемент логарифма называется однозначной ( или регулярной) ветвью логарифма. Аналогично, однозначной ветвью многозначной аналитической функции называется любой ее элемент. Можно по-разному выбирать элементы, из которых склеена аналитическая функция. [20]
Порядок изложения материала в настоящем учебнике существенно отличается от других учебников по теории аналитических функций. Речь идет о месте строгой теории многозначных аналитических функций, излагаемой на основе аналитического продолжения. Для такого расположения материала имеются достаточно веские основания. Во-первых, с точки зрения логики изложения аналитическое продолжение играет в теории функций комплексного переменного не меньшую роль, чем теория пределов в анализе. Во-вторых, это очень выгодно с чисто практической точки зрения, так как раннее использование аналитического продолжения позволяет сэкономить много места и времени в дальнейшем. Обычные возражения против такого расположения основаны на мнении о трудности этих вопросов для понимания. Однако трудность сильно преувеличена. Кроме того, при введении элементарных многозначных функций эти трудности все равно приходится преодолевать, причем более искусственным ( а потому и менее понятным) способом. Во всяком случае опыт чтения лекций по теории аналитических функций в Московском физико-техническом институте убедил меня в том, что две-три трудные ( но вполне доступные) лекции вполне оправданы лучшим пониманием всего дальнейшего материала. Значительно легче проходили и упражнения, так как вопрос о выделении регулярной ветви переставал быть трудоемким и малопонятным. [21]
В связи с этим вводится понятие ветви аналитической функции, причем каждая ветвь связана как бы с отдельной областью и эти области склеены друг с другом вполне определенным образом. Такие геометрические многообразия называют римановыми поверхностями многозначных аналитических функций. Римановы поверхности некоторых функций были нами рассмотрены в гл. [22]
В результате получим, вообще говоря, многозначную аналитическую функцию. [23]
В ней подробно изучены аналитические свойства и приведены основные формулы для вычисления значений важнейших элементарных функций. Особое внимание уделяется вопросу о выделении регулярных ветвей многозначных аналитических функций. [24]
Рассмотрим несколько примеров на вычисление интегралов от регулярных ветвей многозначных аналитических функций. В примерах 15 - 18 нужно вычислить интегралы от всех ветвей многозначных аналитических функций, стоящих под знаком интеграла. [25]
Заметим, что /, ( г) и f2 ( г) не обязательно совпадают во всем пересечении областей их определения. Аналитическое продолжение может производить элементы, принадлежащие к различным ветвям многозначной аналитической функции / ( г); два значения f ( г0), полученные при аналитическом продолжении. [26]
Эти поверхности делают геометрически наглядным описанный выше процесс аналитического продолжения и само понятие многозначной аналитической функции. [27]
Регулярной ветвью аналитической функции называется любой ее элемент. Теорема о монодромии позволяет построить простой и удобный алгоритм, с помощью которого многозначную аналитическую функцию можно разрезать на регулярные ветви. Именно, пусть функция F ( z) аналитична в конечносвязной области D. [28]
Создание ж развитие этой теории было вызвано нотребностями различных областей математики: теоржи дифференциальных уравнений, теории функцжй, геометрии, топологии, теории чисел и др. Теория клейновьпс групп и автоморфных относительно них функций представляет сейчас одну из красивейших областей математики и продвинута очень далеко. Одним из стимулов, способствовавжжх развитию этой теории, служила классическая проблема униформизации рима-новых поверхностей и многозначных аналитических функций, решенже которой было получено различными методами Ф, Клейаом А. [29]
Книга представляет собой учебник для студентов втузов и университетов. В ней изложены основы теории функций комплексного переменного. Наряду с традиционными разделами курса в книге подробно рассмотрены многозначные аналитические функции и элементарные асимптотические методы. [30]