Cтраница 3
Рассмотрим несколько примеров на вычисление интегралов от регулярных ветвей многозначных аналитических функций. В примерах 15 - 18 нужно вычислить интегралы от всех ветвей многозначных аналитических функций, стоящих под знаком интеграла. [31]
Значение этих функций в анализе определяется прежде всего тем, что большинство простейших функций является функциями автоморфными. Более глубокие основания для выделения класса автоморфных функций состоят в том, что развитие их теории приводит к ряду сложнейших проблем математического анализа. Теория автоморфных функций тесно связана с теорией алгебраических функций, в частности с задачей униформизапии алгебраических функций, а также и с более общей задачей униформизации многозначных аналитических функций которая, как это было показано в предыдущих главах, в свою очередь связана с задачей интегрирования линейных дифференциальных уравнений. [32]
Естественным логическим следствием принципа аналитического продолжения является введение нового понятия функции. У функций в этом новом смысле область определения не задается заранее, а определяется заданием функции в окрестности какой-либо точки. Основная трудность, связанная с изучением такого рода функций ( мы назовем их аналитическими функциями), в том, что они, вообще говоря, не являются однозначными функциями точки комплексной плоскости. Мы покажем, что любую аналитическую функцию можно рассматривать как однозначную функцию, но уже не только от точки, а еще и от кривой, ведущей в эту точку из некоторой фиксированной точки. Для многозначных аналитических функций возникают две основные задачи: найти всю область определения по данному элементу и выяснить характер зависимости аналитической функции от кривой. Мы подробно рассмотрим эти задачи для основных элементарных функций и выскажем некоторые общие соображения. Кроме того, мы изложим способ, позволяющий рассматривать аналитическую функцию как. Эта поверхность называется римановой поверхностью аналитической функции. [33]
Отдельные части многообразий могут быть выделены с помощью некоторых признаков или же количественных ( квантитативных) различий. С количественной точки зрения сравнение осуществляется в случае дискретных многообразий посредством счета, в случае непрерывных - посредством измерения. Измерение заключается в последовательном прикладывании сравниваемых величин; поэтому возможность измерений обусловлена наличием некоторого способа переносить одну величину, принятую за единицу масштаба, по другой величине. Если такой способ не указан, то сравнивать две величины можно лишь в том случае, когда одна из них является частью другой, и тогда речь может идти лишь о больше или меньше, а не о сколько. Исследования, которые имеют своим предметом величины такого рода, образуют общего характера, независимую от мероопределения, часть учения о величинах: в ней величины не мыслятся существующими независимо от их положения и выраженными через единицу измерения, а должны быть представляемы как области в некотором многообразии. Такого рода исследования стали крайне необходимыми для многих отраслей математики, в частности в теории многозначных аналитических функций; недостаточное их развитие, несомненно, есть причина того, что знаменитая теорема Абеля, а также результаты, полученные Лагранжем, Пфаффом, Якоби в общей теории дифференциальных уравнений, долгое время не давали своих плодов. [34]
Примерами многообразий служат поверхности в многомерных евклидовых пространствах, локально заданные неособыми системами гладких ур-ний. Хотя, в принципе, любое ( с нек-рыми топологич. U, имеют вид jtj, м1 1 / при / sjoc, х, и / и при [ а. В приложениях часто возникают также многообразия, являющиеся группами Ли и однородными пространствами. Если в определении многообразия n 2m и ф-ции перехода ( 3), определенные в области комплексного пространства С, комплексно аналитичны, то М2т наз. Примерами комплексно-одномерных многообразий являются комплексная плоскость С, сфера Римана СП, получающаяся из С добавлением бесконечно удаленной точки, а также римановы поверхности многозначных аналитических функций. Определены также комплексные проективные пространства СР, определяемые по аналогии с RP, но все координаты векторов комплексные. Комплексные алгебраические многообразия в СР локально задаются системами однородных алгебраич. [35]