Cтраница 2
Задачу об исследовании автоморфных функций впервые поставил Пуанкаре, хотя он и сам указывает, что в отношении некоторых функций этого рода он имел предшественников. Самое исследование он проводит в следующем порядке. Во-первых, он старается установить, каковы могут быть фундаментальные области автоморфной функции; во-вторых, владея уже разбиением плоскости на фундаментальные области, он ставит себе задачей разыскать те преобразования, которые замещают эти области друг другом, так сказать, перетасовывают их; в-третьих, зная фундаментальные области, он разыскивает и соответствующие функции. Из этих задач основной является разыскание возможных фундаментальных областей. [16]
Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в к-рой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. [17]
Создав свою теорию автоморфных функций и применив ее к проблеме униформизации, Клейн достиг подлинной вершины римановой теории функций и своими прозрениями и открытиями выявил в топологии проблематику, далеко не исчерпанную в теоретико-функциональном отношении, и поныне, проблематику, прояснение которой с позиций абстрактной алгебры разве что только начинается. [18]
Дадим теперь определение автоморфных функций и установим некоторые их свойства. Функции, инвариантные по отношению к некоторой группе дробно-линейных подстановок, называются автоморфныма функциями. [19]
Он определяет кусочно аналитическую автоморфную функцию, имеющую линию разрыва L0 и обращающуюся в точке z0 ( а также и во всех эквивалентных ей точках) в нуль. [20]
D, называют автоморфной функцией по отношению к данной группе. [21]
Рассмотренные в предыдущей главе автоморфные функции представляют весьма частные примеры этого класса функций. [22]
Разобранные в предыдущей главе автоморфные функции, как было показано, инвариантны по отношению к подстановкам, которые образуют прерывную группу движений евклидовой плоскости или сферы. При этом сферу можно рассматривать как изображение плоскости Римана при условии, что две диаметрально противоположные точки сферы представляют собой одну точку плоскости Римана и прямыми в геометрии Римана являются геодезические линии сферы, - то-есть ее большие окружности. [23]
Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций. [24]
В общем виде теория автоморфных функций была разработана в 80 - х годах прошлого века Пуанкаре и Клейном. [25]
Итак, в теории автоморфных функций имеют приложение только группы, не имеющие бесконечно малых подстановок, то-есть только такие группы, для которых на плоскости ( z) существуют площадки, не содержащие двух точек, эквивалентных друг другу. Такие группы называются собственно прерывными группами. [26]
Переходим теперь к построению автоморфных функций для случая конечных групп. [27]
Выше мы разобрали случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Римана, причем там были найдены все случаи групп собственно прерывных. Мы разобрали также случаи автоморфных функций, инвариантных по отношению к некоторой прерывной группе движений на плоскости Евклида, причем в этом случае наиболее важный класс функций, как это было выяснено, представляют собой эллиптические функции, к которым можно было свести и соответствующие случаи функций Шварца. [28]
Особую роль в теории автоморфных функций играет так называемая основная функция группы. [29]
Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций. [30]