Cтраница 2
Связь между абсолютно непрерывными функциями и функциями ограниченной вариации проясняется следующим результатом. [16]
Пусть Q - абсолютно непрерывная функция на вещественной прямой, Q L1 ( 1R1), а функция f либо локально абсолютно непрерывна, либо всюду дифференцируема. Предположим, что функции f g и f Q интегрируемы. [17]
Решением называется обобщенно абсолютно непрерывная функция, аппроксимативная производная ( [ 72, с. Функция называется обобщенно абсолютно непрерывной на интервале /, если она непрерывна на / и интервал / является объединением конечного или счетного числа множеств, на каждом из которых функция абсолютно непрерывна. Такая функция почти всюду на / имеет аппроксимативную производную. Однако в большинстве теорем налагаются такие условия, при которых аппроксимативная производная превращается в обычную и можно обойтись обычной производной. У таких решений нет ни скачков, ни скользящих режимов. [18]
Если аддитивная и абсолютно непрерывная функция совокупности, F ( e), имеет верхнюю ( нижнюю) производную DF, положительную почти, везде к совокупности е ( с отличной от нуля мерой), то F ( e) положительна. [19]
Всякая аддитивная и абсолютно непрерывная функция множества будет и вполне аддитивной. [20]
Так как всякая абсолютно непрерывная функция точки есть разность двух абсолютно непрерывных же возрастающих функций, то, не ограничивая общности, мы можем считать ( что мы и делаем), что функция ср ( х) возрастает. [21]
Итак, класс абсолютно непрерывных функций и есть класс функций, представимых в виде интеграла Лебега с переменным верхним пределом. [22]
Производная аддитивной и абсолютно непрерывной функции от совокупности. [23]
Класс аддитивных и абсолютно непрерывных функций множества совпадает с классом неопределенных интегралов суммируемых функций. [24]
В частности, абсолютно непрерывной функцией будет всякая дифференцируемая во всех точках функция, производная которой ограничена. [25]
Ясно, что всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно, например: описанная выше канторова лестница непрерывна ( а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке [ О, 1 ], однако она не абсолютно непрерывна. [26]
Ясно, что всякая абсолютно непрерывная функция непрерывна и в обычном смысле. [27]
Функция, сопряженная к абсолютно непрерывной функции, может быть неограниченной на любом интервале. [28]
Мера лр, отвечающая абсолютно непрерывной функции F, называется абсолютно непрерывной мерой. [29]
Зс - семейство всех абсолютно непрерывных функций распределений на прямой. [30]