Cтраница 3
Эта выпуклая функция имеет единственный максимум в нуле. [31]
С выпуклая функция К ( и, ) замкнута и относительная внутренность ее эффективного множества совпадает с D аналогично для функции L ( и, ) Более того, К ( и, ) и L ( и, ) равны на D при и 6 С, поскольку они имеют одинаковые ядра. Совпадение К ( и, ) и L ( и, при и 6 С можно выразить и иначе: вогнутые функции К ( -, v) и L (, v) принимают одни и те же значения на С при всех v 6 п - В силу свойств ( d), ( е) и ( f) из теоремы 34.3 функции К (, v) и L (, v) - собственные, причем относительные внутренности их эффективных множеств равны С, если v 6 D, и несобственные, равные оо на С, если v D. [32]
Если выпуклая функция является дважды дифференцируемой, то ее вторая производная неотрицательна. [33]
Если выпуклая функция f ( x) дифференцируема, неотрицательность в некоторой точке х0 всех ее производных по направлениям означает, что градиент f ( х) в точке х0 равен нулю. [34]
Однако полиэдральная выпуклая функция всегда совпадает со своим замыканием в точках своего эффективного множества. Таким образом, из ( а), ( с) и ( е) ( а значит, и из ( b), ( d) и ( f)) следует нормальность. Условие ( g) эквивалентно в силу утверждения ( d) теоремы 27.1 включению 0 6 int ( dom ( F 0)), откуда следует, что ( Р) строго совместна. [35]
Примером выпуклой функции служит квадратичная функция с положительно определенной матрицей. [36]
Произведение выпуклой функции на положительную постоянную есть выпуклая функция. [37]
Свойство выпуклой функции быть собственной не обязательно сохраняется при инфимальной конволюций, ибо нижняя грань в формуле из теоремы 5.4 может оказаться равной - то. Нельзя определить этой формулой и инфимальную конволюцию несобственных функций, ибо при этом может встретиться выражение оо - оо. [38]
Ограниченность выпуклых функций помогает достаточно элементарно доказать их непрерывность в следующем смысле. [39]
Свойства выпуклых функций, указанные в теореме 2, являются также и достаточными для выпуклости. [40]
Примером выпуклой функции служит квадратичная форма с положительно определенной матрицей. [41]
Значение выпуклых функций для задач минимизации вытекает из следующего свойства. [42]
Для выпуклой функции справедливо, что если в некоторой точке х х ее частные производные обращаются в нуль, то функция в ней достигает минимального значения. [43]
Для любой выпуклой функции р ( х), определенной на выпуклом множестве X, и любого числа Л множество Z х G X: ( ( х) Л выпукло. [44]
Для собственной выпуклой функции замкнутость равносильна полунепрерывности снизу. Замкнутыми несобственными функциями являются лишь функции, тождественно равные оо или - оо. [45]