Cтраница 1
Гладкая функция / на М называется функцией Морса, если все ее критические точки невырождены. [1]
Гладкие функции /: S - R, удовлетворяющие уравнению А / 0, называются гармоническими функциями. [2]
Гладкая функция ( p ( t) называется основной, если она равна тождественно нулю вне некоторого конечного интервала. [3]
Гладкая функция называется / плоско. Гладкое векторное поле плоско в точке, если его компоненты плоски в этой точке. [4]
Поскольку гладкие функции непрерывны, достаточность доказана. Обратно, предположим, что утверждение ( 1) справедливо для каждого интервала /, лежащего внутри О. [5]
Если гладкая функция / не является квадратичной, она тем не менее будет приблизительно квадратичной в окрестности минимума, в котором матрица Гессе не вырождается. [6]
Пусть гладкие функции хг ( Р) 9 1 г п, таковы, что соответствующий якобиан J ( /), / ( P) г () отличен от нуля в области С. Тогда для каждой точки Р из области С существует такая открытая окрестность, что в ней функции хг ( Р) задают регулярные координаты. [7]
При гладкой функции, когда вторая и высшие производные конечны и имеют примерно одинаковый порядок и когда значение А мало, вторым и последующими членами ряда можно пренебречь. [8]
Для гладких функций со ( х) и ф ( ж) эта формула проверяется стандартными выкладками. Если со ( х) фиксировано, то в обеих частях формулы стоят суперпозиции регулярных операций, так что формула остается справедливой при замене ф ( х) на произвольную обобщенную или непрерывную функцию. [9]
N-струей гладкой функции в точке О пространства R называется класс функций, тейлоровские разложения которых в точке 0 до членов степени Л включительно совпадают. [10]
Среди гладких функций u ( x t) есть многочлены второй степени, для которых d u / dt2, д и / дх2 принимают в любой фиксированной точке любые независимые наперед заданные значения. При этом член O ( a r3ft3 aift3 a ift3), в который входят третьи производные многочлена u ( x t), обращается в нуль. [11]
Для гладких функций равенство (2.7) получается двукратным интегрированием по частям. [12]
Для гладких функций можно получить более хорошие результаты при несложном построении сетки, если выбрать число узлов N km, где т - число измерений. Разобьем единичный куб на N кубиков со стороной l / k, в каждом кубике выберем одну случайную точку и вычислим по этим точкам интеграл. [13]
Для достаточно гладких функций / ( х), заданных своими значениями, можно построить метод численного дифференцирования, эквивалентный методу (4.35), следующим образом. [14]
Для достаточно гладких функций оптимальное число членов оказывается небольшим и при уменьшении ба растет, но довольно медленно. Достигаемая точность тем выше, чем более высокие производные имеет функция. [15]