Cтраница 3
Точечная группа симметрии кристалла ( кристаллический класс) G может не совпадать с точечной группой симметрии решетки Браве G0, являясь ее подгруппой. В этом случае функция / ( k) преобразуется по тождественному представлению не точечной группы G0, а группы G, которая либо совпадает с G ( если G содержит инверсию), либо является прямым произведением G и инверсии. При этом учтена инвариантность гамильтониана относительно обращения знака времени ( см. первую главу), приводящая к тому, что f ( k) f ( - k), даже если в точечной группе нет инверсии. Таким образом, как это впервые было отмечено В. П. Смирновым, функции Am ( k) и, следовательно, наборы специальных точек будут, вообще говоря, различными для кристаллов. Хотя это и не было учтено в [11], построенные точки тем не менее являются специальными для всех кристаллических классов кубической сингонии. Это имеет место потому, что концы векторов, использованных в качестве начальных в [11], лежат на границах неприводимых частей ЗБ. [31]
Необходимость существования частиц с одинаковыми массами является следствием той или иной симметрии, свойственной законам природы. Эта симметрия ведет к необходимости существования целого семейства частиц ( мультиплетов) со многими одинаковыми характеристиками. Математически подобные симметрии связаны с инвариантностью соответствующих гамильтонианов относительно операции, характерной для данной симметрии. Например, известные свойства симметрии в изотопическом пространстве в отношении протона и нейтрона) обеспечивают равенство масс этих частиц, если отвлечься от других свойств этих частиц, нарушающих изотопическую симметрию протона и нейтрона. Имеется в виду, например, различие в электромагнитных свойствах протона и нейтрона или свойства, связанные с р-распадом нейтрона. [32]
При применении принципа Паули важно иметь в виду, что в гамильтониане, построенном нами для описания жесткой молекулы, рассматриваются как эквивалентные только те ядра, которые под действием точечной группы С превращаются один в другой, как это обсуждалось на стр. Эта группа в разд. Я ( С); она представляет собой группу инвариантности молекулярного гамильтониана. Именно эти перестановки ядер следует рассматривать, когда применяется принцип Паули. [33]
В приведенном выше обсуждении инвариантности гамильтониана относительно операций трансляции и вращения мы использовали так называемое активное представление, в котором операции интерпретируются как трансляции или вращения всей молекулы относительно системы осей, фиксированной в пространстве. Действие этих операций на гамильтониан в точности дублируется, если мы сохраняем молекулу фиксированной и транслируем или вращаем пространственно-фиксированные оси относительно молекулярно-фиксированных осей. Этот последний подход к интерпретации операций называется пассивным представлением и дает более ясное понимание инвариантности гамильтониана. [34]
Поскольку крамерсово вырождение непосредственно связано с инвариантностью по отношению к обращению времени, то можно задаться вопросом, является ли оно новым вырождением, дополнительно накладывающимся на вырождение, связанное с пространственной симметрией окружения. Однозначного ответа на этот вопрос не существует, поскольку можно найти примеры и той, и другой ситуаций. Так, например, если окружение обладает кубической симметрией, то при нечетном числе электронов все представления по крайней мере двумерны, и инвариантность гамильтониана по отношению к обращению времени не приводит к дополнительному вырождению. [35]