Cтраница 3
Мы обсуждаем здесь - ортодоксальный подход к теореме Нетер, восходящей к работе самой Нетер, и усовершенствуем лишь ее математическую формулировку. Вместе с этим нужно указать на существование другого подхода к этой теореме, часто применяемого в классической и в квантовой механике. В этом случае исследуется не инвариантность действия при преобразовании координат, когда физическая система остается прещней, а неизменность этой величины при движении физической системы относительно фиксированной системы координат. В общей теории относительности движения физических систем как целого относительно фиксированного пространства не всегда возможны ввиду неоднородности искривленного пространства, но инвариантность действия задается тензорным характером теории, так что ортодоксальная форма теоремы Штер здесь остается в силе. Кроме того, в малом риманово пространство проявляет те же свойства однородности, что и псевдоэвклидово, так как в соответствующие соотношения не входит кривизна, и это допускает формулировку дифференциальных законов сохранения. К этому вопросу мы вернемся позднее. [31]
Негер [ 7] ( 1918 г.) дает рецепт составления интегралов движения, отвечающих любой физической теории, которая допускает лагранжево описание. Случай систем с конечным числом степеней свободы специально не выделяется. Указывается способ построения интегралов движения, соответствующих инвариантности действия по Гамильтону по отношению к R-параметрической группе Ли. [32]
Второе замечание касается О ( 4) - симметрии. Коммутативный инстантон 0 ( 4) - симметричен - что связано с 0 ( 4) - инвариантностью действия коммутативных теорий. В некоммутативном случае 0 ( 4) - инвариантность действия, вообще говоря, отсутствует. [33]
Ошибки обоих этих типов будут малы, если е - малая величина. В пределе е - - 0, когда параметры системы изменяются бесконечно медленно, эти погрешности исчезают. Таким образом, выводы о сохранении периодичности решения и об инвариантности действия А, определенного для данного семейства решений, - это результаты асимптотические, поэтому соответствующее действие А называют адиабатическим инвариантом. Подобные ошибки ограничивают наши возможности рассматривать решение как периодическое колебание. [34]
Рассмотренная экспериментальная конструкция ваттметра с Т - образным ответвителем может быть использована для абсолютных измерений мощности, если провести специальную градуировку и использовать свойства тройника трансформировать полное сопротивление. Такую градуировку можно осуществить либо теоретическим расчетом самого тройника ( величины его связи и реактивного сопротивления), либо путем экспериментального измерения положения узлов электрического поля во входном волноводе при различном положении поршней в двух других плечах. Второй способ градуировки полностью совпадает с общим методом, основанным на теореме инвариантности действия. [35]
Для классической механики основной группой преобразований являются канонические преобразования. Первый способ, в котором задаются бесконечно малые изменения канонических переменных qh pt при бесконечно малом каноническом преобразовании, выражен уравнениями Гамильтона, второй - инвариантностью действия. [36]
Чтобы учесть взаимодействие, необходимо в полной аналогии с классической механикой включить в лагранжиан члены, отвечающие двум разным частицам. Здесь мы не будем рассматривать лагранжиан для взаимодействующих систем - это будет сделано ниже в связи с квантованием полей. Существенно, однако, отметить, что аналогично классической механике частицы инвариантность действия относительно некоторых преобразований ковариантной амплитуды и (, t) обусловливает наличие соответствующих законов сохранения для динамических систем. Так, инвариантность действия относительно смещений начала отсчета пространственных и временной координат приводит соответственно к законам сохранения импульса и энергии, а инвариантность относительно выбора направления координатных осей дает закон сохранения момента количества движения. Эти результаты, поскольку они связаны с общими принципами лагранжева формализма, применимы также и к квантовым полям. [37]
Можно построить бесконечное множество вариантов различных теорий поля, но из всего этого многообразия необходимо отобрать только те теории, которые удовлетворяют определенным требованиям. В случае, когда пространство считается псевдоэвклидовым, одним из основных требований, налагаемых на теорию поля, является ее инвариантность по отношению к преобразованиям Лоренца. Под инвариантностью классической теории поля по отношению к преобразованиям Лоренца будем понимать инвариантность интеграла действия поля; ковариантность уравнений поля относительно этих преобразований при этом будет выполняться автоматически. Так как элемент объема в четырехмерном пространстве инвариантен относительно преобразований Лоренца, то согласно (1.4) для инвариантности действия S достаточно, чтобы плотность функции Лагранжа X была инвариантна относительно этих преобразований. [38]
Мы обсуждаем здесь - ортодоксальный подход к теореме Нетер, восходящей к работе самой Нетер, и усовершенствуем лишь ее математическую формулировку. Вместе с этим нужно указать на существование другого подхода к этой теореме, часто применяемого в классической и в квантовой механике. В этом случае исследуется не инвариантность действия при преобразовании координат, когда физическая система остается прещней, а неизменность этой величины при движении физической системы относительно фиксированной системы координат. В общей теории относительности движения физических систем как целого относительно фиксированного пространства не всегда возможны ввиду неоднородности искривленного пространства, но инвариантность действия задается тензорным характером теории, так что ортодоксальная форма теоремы Штер здесь остается в силе. Кроме того, в малом риманово пространство проявляет те же свойства однородности, что и псевдоэвклидово, так как в соответствующие соотношения не входит кривизна, и это допускает формулировку дифференциальных законов сохранения. К этому вопросу мы вернемся позднее. [39]
Показывается, что лагранжева формулировка в случае точечной частицы приводит ко второму закону движения Ньютона. Дается аналогичная трактовка теории ( классического) скалярного поля. Вариационный принцип позволяет найти уравнения движения Эйлера - Лагранжа. Находится выражение для действия, которое дает уравнение Клейна - Гордона. Инвариантность действия относительно пространственно-временных трансляций и вращений приводит в силу теоремы Нетер к законам сохранения энергии-импульса и углового момента. [40]
Чтобы учесть взаимодействие, необходимо в полной аналогии с классической механикой включить в лагранжиан члены, отвечающие двум разным частицам. Здесь мы не будем рассматривать лагранжиан для взаимодействующих систем - это будет сделано ниже в связи с квантованием полей. Существенно, однако, отметить, что аналогично классической механике частицы инвариантность действия относительно некоторых преобразований ковариантной амплитуды и (, t) обусловливает наличие соответствующих законов сохранения для динамических систем. Так, инвариантность действия относительно смещений начала отсчета пространственных и временной координат приводит соответственно к законам сохранения импульса и энергии, а инвариантность относительно выбора направления координатных осей дает закон сохранения момента количества движения. Эти результаты, поскольку они связаны с общими принципами лагранжева формализма, применимы также и к квантовым полям. [41]