Cтраница 2
Если взять г / 0 4vx 4у0, ситуация инвариантна относительно группы М22, оставляющей на месте оо и 0, и 276 пар распадаются на орбиты порядков 1, 22, 77, 176 относительно этой группы, содержащейся в трех различных подгруппах группы - 3: в М2з с орбитами 1 22 и 77 176, в группе Маклафлина - 322 с орбитами 1 и 22 77 176 и в группе Хигмана - Симса - 332 с орбитами 1 22 77 и 176; хорошо просматриваются представления Хигмана и Симса на 100 элементах и дважды транзитивное представление Хигмана на 176 элементах. [16]
Однако оригинальное доказательство теоремы Ширшова давало только рекурсивную оценку. Хигманом была показана нильпотентность ( не обязательно конечно порожденных) нильалгебр индекса га. Ими была получена экспоненциальная оценка на степень нильпотентности. [17]
В этой главе демонстрируется замечательное комбинаторное свойство числа 6, которое применимо для построения и доказательства единственности проективной плоскости порядка 4, графа Мура степени 7 и 5 - ( 12 6, 1) штейнеровой системы. Этот материал основан на лекциях Хигмана. [18]
Алгебры в примерах b и с являются групповыми. Удовлетворительное описание групповых алгебр конечного типа было получено Хигманом: если F - поле простой характеристики р, a G - конечная группа, то групповая алгебра FG имеет конечный тип в том и только том случае, когда силовская р-под-группа группы G циклическая. Доказательство теоремы Хиг-мана использует идеи, с которыми мы познакомим читателя в гл. При этом общий случай сводится к р-группам, для которых этот результат в свою очередь следует из примеров b и с, что мы сейчас и покажем. [19]
Сорок два корня в 21д1 соответствуют точкам и прямым проективной плоскости порядка 4 и соединены по инцидентности, а 100 точек в 22t, i образуют граф Хигмана - Симса ( см. разд. [20]
Если G - транзитивная группа перестановок на множестве X с тем свойством, что всякие две точки взаимно переставляемы некоторым элементом из G, то орбиты группы G на множестве 2-подмножеств множества X образуют ассоциативную схему на X. Это условие на G может быть ослаблено: достаточно, чтобы перестановочный характер G был мультипликативно-свободным; достаточны и еще более слабые условия, но их не легко формулировать. Хигманом [35] введен и изучен более общий комбинаторный объект, названный им когерентной конфигурацией, который тем же способом описывает действие произвольной группы перестановок. [21]
Языки программирования представляют собой довольно загадочный объект: многие вопросы их развития остаются не решенными, несмотря на усилия многих исследователей. Изучению сущности этих языков посвящены многие работы. Так, Хигман в [28] обсуждает некоторые аспекты, общие для разных языков. [22]
Соединим оо с 22 точками, точку с блоками, ее содержащими, и два блока, если они не пересекаются. Это приводит к графу с указанными выше параметрами. Простая группа Хигмана - Симса является подгруппой индекса два в группе автоморфизмов описанного графа. [23]
Соединим с с 22 точками, точку с блоками, ее содержащими, и два блока, если они не пересекаются. Это приводит к графу с указанными выше параметрами. Простая группа Хигмана - Симса является подгруппой индекса два в группе автоморфизмов описанного графа. [24]
Поскольку ( X, Ri U R) имеет только три собственных значения, этот граф является сильно регулярным и мы вновь приходим к графу Хиг-мана - Симса. Можно построить систему из трех сцепленных графов Хоффмана - Синглтона на 150 вершинах, взяв вершины и каждое из двух множеств по 50 коклик; соединим вершины очевидным способом. Тогда каждое из трех множеств по 100 точек в этом графе индуцирует граф Хигмана - Симса. [25]
Поскольку ( X, Ri U Rt) имеет только три собственных значения, этот граф является сильно регулярным и мы вновь приходим к графу Хиг-мана - Симса. Можно построить систему из трех сцепленных графов Хоффмана - Синглтона на 150 вершинах, взяв вершины и каждое из двух множеств по 50 коклик; соединим вершины очевидным способом. Тогда каждое из трех множеств по 100 точек в этом графе индуцирует граф Хигмана - Симса. [26]
Важную информацию об этих кодах дает теория модулярных представлений групп. Калдербанк и Вэйлз [ Cal 9 ] использовали эту идею для построения двоичного кода длины 176 и размерности 22, группой автоморфизмов которого является группа Хигмана - Симса. Брук [ ВгоО ] - - [ Вго2 ] нашел все двоичные коды, получаемые таким образом из примитивных представлений перестановками многих интересных групп. [27]
По-видимому, менее известны применения тензорных произведений, содержащиеся в § 9.5 и 9.6. Материал § 9.5 ориентирован на теорию представлений групп и, в частности, предназначен для доказательства теоремы Хигмана. В § 9.6 мы ограничились только первоначальными сведениями по эквивалентности Мориты, однако уже здесь, как нам кажется, выявилась полезность категорного подхода к классической алгебре. [28]
Симе [ Sitnl ] показал, что группа, дважды транзитивно действующая на 176 элементах, описанная Хигманом [ Hig4 ], изоморфна группе Хигмана - Симса. Имеется 352 такие точки G, что GX имеет тип 3, тогда как GY и GZ имеют тип 2, и они естественно образуют 176 пар Рк АК ВК ( KtV ( S), К Л R /), AK 2vK, ВК Х - АК. Если рассматривать точки как пары Рк, а квадрики как пары QK и если говорить, что Рк лежит на QK, когда К. К 2, то мы получим геометрию Хигмана вместе с новым доказательством того, что эта группа есть группа Хигмана - Симса. [29]
Симе [ Sitnl ] показал, что группа, дважды транзитивно действующая на 176 элементах, описанная Хигманом [ Hig4 ], изоморфна группе Хигмана - Симса. Имеется 352 такие точки G, что GX имеет тип 3, тогда как GY и GZ имеют тип 2, и они естественно образуют 176 пар Рк АК ВК ( KtV ( S), К Л R /), AK 2vK, ВК Х - АК. Если рассматривать точки как пары Рк, а квадрики как пары QK и если говорить, что Рк лежит на QK, когда К. К 2, то мы получим геометрию Хигмана вместе с новым доказательством того, что эта группа есть группа Хигмана - Симса. [30]