Cтраница 3
Первым из этих разделов является теория свободных групп, которую можно изучать при помощи свободных алгебр Ли, пользуясь методом, впервые предложенным Магнусом. Хотя эта связь не такая тесная, как в теории Ли, применение алгебр Ли привело к важным результатам относительно свободных групп и других классов абстрактных групп. В частности, необходимо отметить результаты по так называемой ослабленной проблеме Бернсайда: ограничены ли порядки конечных групп, имеющих фиксированное число г образующих и удовлетворяющих соотношению хт 1, где т - фиксированное положительное целое число. Стоит указать, что важную роль в этих приложениях к теории абстрактных групп играют алгебры Ли простой характеристики. Мы опять-таки не будем входить в детали и отошлем интересующегося этим вопросом читателя к статьям Лазара [2] и Хигмана [1], где дается хорошее изложение этого метода в теории групп. [31]
Имея выбранную 2-схему с К k - 1 как возможный потенциал для D ( T p), мы знаем все ребра Г за исключением тех, которые соединяют различные блоки. Таким образом, эта задача схожа с задачей расширения данной схемы. Всякий блок должен быть смежен v - k другим блокам, и эти смежные блоки не должны пересекаться ( поскольку граф не содержит треугольников); кроме того, если два несмежных блока имеют х общих точек, то k - х блоков должны быть смежны обоим. Иногда случается, что точно v - k блоков не пересекаются с любым заданным блоком. Тогда конструкция определена однозначно: два блока смежны тогда и только тогда, когда они не пересекаются. Два примера этого, где результирующий граф сильно регулярен, представляют парная схема на пяти точках и единственная 3 - ( 22, 6 1) - схема. Эти графы получаются как дополнение графа Клебша ( п16) и графа Хигмана - Симса ( п100) соответственно. Имеются графы на 56 и 77 вершинах, построенные в последней главе. GF ( 9); во втором случае блоки смежны, если они не пересекаются, но не параллельны. [32]