Cтраница 1
Хирцебруха, открытый в 1982 г.) После войны немецкие ученые получили 6 Нобелевских премий по физике, 6 по химии, 5 по биологии. [1]
Хирцебруха с тем, чтобы показать, что дивизор нулей очень плохой: соответствующий компактифицированный якобиан сингулярен. [2]
Обобщенная формула Хирцебруха имеет так называемую гладкую версию, в которой вместо сигнатуры многообразия подставляется индекс оператора Хирцебруха на многообразии. Достоинство такой формулы заключается в том, что оператор Хирцебруха может действовать в сечениях произвольного векторного расслоения на многообразии. Поэтому естественно возник вопрос о перенесении гладкой версии формулы Хирцебруха на комбинаторный случай, с тем, чтобы эффективно построить инварианты типа сигнатуры с коэффициентами в произвольном ( неплоском) векторном расслоении. Хирцебруха сводится к классическим формулам. [3]
Как показал Хирцебрух, соответствующее этому многочлену трехмерное многообразие / С является гомологической сферой, но iti ( / C) является совершенной группой из 120 элементов, изоморфной группе SL ( 2, Z5) ( ср. [4]
Римана - Роха - Хирцебруха для компактных комплексных многообразий является частным случаем теоремы Атьи - - Зингера об индексе. [5]
Один из методов установления формулы Хирцебруха в односвязном случае связан с использованием свойств индекса эллиптических операторов на многообразии. Поэтому естественно возникла задача применить теорию эллиптических операторов и в неодносвязном случае. [6]
Ута проблема аналогична проблеме Милнора - Хирцебруха для Чжэпя классов. [7]
Аналогичный метод применим для общего 7 -рода Хирцебруха. [8]
Другой интересный результат Гротендика был изложен в обзорном докладе Хирцебруха. Речь идет об обобщении теоремы Римана-Роха. Обобщение заключается в том, что находится закон преобразования рода Тодда при рациональных отображениях. Первоначальная теорема Римана-Роха в формулировке Хирцебруха получается из этого результата, если рассматривать отображения многообразия в точку. Доказательство этого обобщения оказывается значительно проще, чем доказательство теоремы Римана-Роха, найденное Хирцебрухом. В частности, оно алгебраическое, так что приложимо к многообразиям над произвольным полем, и Не использует теории внутренних гомологии Тома, на которой основывалось доказательство Хирцебруха. [9]
В случае односвязных многообразий еще Новиковым и Браудером на основании формулы Хирцебруха было доказано, что классическая сигнатура многообразия является гомотопическим инвариантом, что является следствием гомотопической инвариантности групп гомологии вместе с операциями пересечения. Более того, в односвязном случае на основании классификационных теорем, доказанных Новиковым и Браудером методом перестроек Морса, устанавливается, что гомотопически инвариантным рациональным характеристическим классом является только классическая сигнатура многообразия. Таким образом, в случае рациональных характеристических классов для односвязных многообразий задача о нахождении всех гомотопически инвариантных характеристических классов была полностью решена в классических работах 60 - х годов. [10]
Позднее мы вычислим группы flf Q и получим обобщение формулы () - формулу Хирцебруха. [11]
Обобщенная формула Хирцебруха имеет так называемую гладкую версию, в которой вместо сигнатуры многообразия подставляется индекс оператора Хирцебруха на многообразии. Достоинство такой формулы заключается в том, что оператор Хирцебруха может действовать в сечениях произвольного векторного расслоения на многообразии. Поэтому естественно возник вопрос о перенесении гладкой версии формулы Хирцебруха на комбинаторный случай, с тем, чтобы эффективно построить инварианты типа сигнатуры с коэффициентами в произвольном ( неплоском) векторном расслоении. Хирцебруха сводится к классическим формулам. [12]
В случае, когда Y - точка, эта теорема сводится к теореме Римапа - Роха - Хирцебруха. [13]
Когда Патоди [274] распространял свое доказательство теоремы ГБЧ на более сложный случай теоремы об индексе - на теорему Римана-Роха - Хирцебруха, он нашел соответствующие гиперболические функции вручную, и трудности, с которыми он при этом столкнулся, по-видимому, и заставили его воздержаться от попыток распространить разработанный им подход на более общую теорему об индексе. Недавно [18] было установлено, что общую теорему об индексе можно извлечь из теоремы об индексе для скрученных комплексов Дирака. На самом деле лишь для них и было проведено прямое доказательство, использующее ядра теплопроводности. [14]
Показано, что у каждого компактного замкнутого комбинаторного многообразия существует такое достаточно мелкое симплициальное разбиение, которое естественным образом порождает почти алгебраический комплекс Пуанкаре, сигнатура которого служит левой частью формулы Хирцебруха. [15]