Cтраница 3
Этот замечательный результат был получен без какой бы то ни было регуляризации, так как расходимости при континуальном интегрировании по конформным множителям в точности компенсируют те расходимости в действии асимптотически евклидовых метрик, от которых обычно приходится избавляться вычитанием значения поверхностного члена для плоского пространства. Однако такое утверждение носит несколько формальный характер. Более желательно было бы воспользоваться намеченным подходом для вычисления физических амплитуд и вероятностей. Должен признаться, что мне пока не удалось осуществить эту программу, хотя кое-какие смутные идеи на этот счет у меня имеются. По-видимому, большинство конформных метрик ( и все метрики со спинорной структурой и ненулевой сигнатурой Хирцебруха т) обладают отрицательными или нулевыми собственными значениями оператора А. Это означает, что метрика g со стационарным действием в своем конформном классе содержит области, отгороженные от бесконечности. Однако в том же классе конформной эквивалентности существуют и другие метрики, для которых эти области не отгорожены от бесконечности. Им должны соответствовать какие-то физические эффекты, хотя вероятности этих эффектов малы, поскольку области замкнуты в метрике со стационарной фазой. Относительно того, в чем состоят эти эффекты, можно высказать чисто умозрительные догадки. В частности, они могли бы соответствовать виртуальным черным дырам, которые появляются, поглощают одну частицу, испускают частицу другого сорта с тем же зарядом, импульсом и угловым моментом и затем исчезают. [31]
Другой интересный результат Гротендика был изложен в обзорном докладе Хирцебруха. Речь идет об обобщении теоремы Римана-Роха. Обобщение заключается в том, что находится закон преобразования рода Тодда при рациональных отображениях. Первоначальная теорема Римана-Роха в формулировке Хирцебруха получается из этого результата, если рассматривать отображения многообразия в точку. Доказательство этого обобщения оказывается значительно проще, чем доказательство теоремы Римана-Роха, найденное Хирцебрухом. В частности, оно алгебраическое, так что приложимо к многообразиям над произвольным полем, и Не использует теории внутренних гомологии Тома, на которой основывалось доказательство Хирцебруха. [32]