Cтраница 2
Саймон Дональдсон доказал [ Г7 [ ] 3 что, за исключением S не существует гладкого компактного ориентированного односвязного спинового четырехмерного многообразия второе число Бетти которого равнялось бы ( с точностью до знака) его сигнатуре Хирцебруха. Другими словами, не существует гладкого ориентированного четырехмерного многообразияэ которое имело бы только автодуальные или лолько антиавтодуальные гармонические 2-формы в качестве предста - вителей классов когомологий Де Рама. [16]
Атьи - Хирцебруха для тривиального расслоения id: X - X, вообще говоря, невырождена. [17]
Общая формула ( следствие 15.2.1) для эйлеровой характеристики векторного расслоения над неособым комплексным проективным многообразием была дана и доказана Хирцебрухом [ Hirzebruch 1 ], который использовал результаты Тома о кобордизмах. Третье издание книги Хирцебруха содержит полезные исторические замечания в конце глав и дополнение Шварценбергера с применениями и последующей историей. [18]
Первый результат был сообщен в обзорном докладе Хирцебруха. Он заключается в том, что дается необходимое и достаточное условие для того, чтобы набор целых чисел был набором чисел Черна некоторого компактного почти комплексного многообразия. Ввиду роли, которую играют числа Черна в алгебраической геометрии, ясна значительность этой теоремы. Второй результат относится к порядкам гомотопических групп сфер. Он показывает, что порядок определенной подгруппы этой группы ( образа гомоморфизма Уайтхеда) делится на целое число, которое я не буду выписывать и которое определяется исходя из бернул-лиевых чисел. Вероятно даже, что порядок указанной подгруппы равен этому числу. Таким образом, появляется надежда, что хотя бы порядки гомотопических групп сфер могут быть вычислены явным образом. [19]
Обобщенная формула Хирцебруха имеет так называемую гладкую версию, в которой вместо сигнатуры многообразия подставляется индекс оператора Хирцебруха на многообразии. Достоинство такой формулы заключается в том, что оператор Хирцебруха может действовать в сечениях произвольного векторного расслоения на многообразии. Поэтому естественно возник вопрос о перенесении гладкой версии формулы Хирцебруха на комбинаторный случай, с тем, чтобы эффективно построить инварианты типа сигнатуры с коэффициентами в произвольном ( неплоском) векторном расслоении. Хирцебруха сводится к классическим формулам. [20]
Эти примеры первоначально были построены Бредоном [12] ( см. также Бредон [11, 19]) по существу тем же методом, что изложен в этом параграфе. Позже появились два других метода ( Брискорн [1], Хирцебрух и Me и ер [1] и Бредон [15]), которые позволили построить те же примеры и обобщить их в другом направлении; при этом проявились несомненные преимущества этих методов по сравнению с изложенной здесь конструкцией. Эти идеи мы обсудим позже. Изложенный метод был выбран по причине его простоты с точки зрения вычисления групп гомологии получающихся пространств. [21]
В 1974 - 1975 гг. ( [48], [49]) А. С. Мищенко применил метод теории фредгольмовых представлений, позволивший ему установить гипотезу Новикова для широкого класса фундаментальных групп. Применение теории представлений в конечномерном случае приводит к формулам типа Хирцебруха для сигнатур многообразия в когомологиях с локальной системой коэффициентов в конечномерном векторном пространстве. Однако запас характеристических классов, которые можно получать с помощью конечномерных представлений, слишком беден, и для многих фундаментальных групп сводится только к классической сигнатуре. [22]
Таким образом, с помощью гомотопической техники была установлена обобщенная формула Хирцебруха не только для гладких многообразий, но и для кусочно-линейных многообразий. [23]
В настоящее время известно несколько различных доказательств этой теоремы и ее обобщений. Первое доказательство Атьи-Зингера основывалось на теории кобордизмов, как и теорема Римана-Роха - Хирцебруха. Эти результаты переносятся на многообразия с краем, если оператор L пополнен коэрцитивными граничными условиями, дающими нетеров оператор. [24]
С помощью - К-групп решены многие трудные проблемы, не поддававшиеся решению с использованием др. методов. Гротендиком группа K0 ( R) была им использована для доказательства и значит, обобщения теоремы Ри-мана - Роха - Хирцебруха в алгебраической геометрии. [25]
Если Л / - компактное, кэлерово многообразие с отрицательно определенным тензором Риччи, то Ci ( A /) отрицателен и по теореме 2.1 группа ф ( Ж) голоморфных преобразований конечна. Кобаяси [9, 10]) и по теореме 2.2 ( М) конечна. Ci ( M) отрицателен ( см. Хирцебрух [1]) и по теореме 2.1 группа & ( М) конечна. В частности, если М - невырожденная гиперповерхность степени д 2 в Pn i ( C), то группа & ( М) конечна. [26]
Обобщенная формула Хирцебруха имеет так называемую гладкую версию, в которой вместо сигнатуры многообразия подставляется индекс оператора Хирцебруха на многообразии. Достоинство такой формулы заключается в том, что оператор Хирцебруха может действовать в сечениях произвольного векторного расслоения на многообразии. Поэтому естественно возник вопрос о перенесении гладкой версии формулы Хирцебруха на комбинаторный случай, с тем, чтобы эффективно построить инварианты типа сигнатуры с коэффициентами в произвольном ( неплоском) векторном расслоении. Хирцебруха сводится к классическим формулам. [27]
Обобщенная формула Хирцебруха имеет так называемую гладкую версию, в которой вместо сигнатуры многообразия подставляется индекс оператора Хирцебруха на многообразии. Достоинство такой формулы заключается в том, что оператор Хирцебруха может действовать в сечениях произвольного векторного расслоения на многообразии. Поэтому естественно возник вопрос о перенесении гладкой версии формулы Хирцебруха на комбинаторный случай, с тем, чтобы эффективно построить инварианты типа сигнатуры с коэффициентами в произвольном ( неплоском) векторном расслоении. Хирцебруха сводится к классическим формулам. [28]
Как следствие из формулы Атьи - Зингера получаются частные формулы для различных классов операторов, имеющих важное значение в геометрии, топологии и др. разделах математики. Хир-цебруха выражает сигнатуру ориентированного компактного замкнутого многообразия через характерпс-тич. Сама формула Хирцебруха и ее обобщения на неодносвязиме многообразия применяется в дифференциальной топологии в задачах классификации гладких структур многообразий. [29]
Другой интересный результат Гротендика был изложен в обзорном докладе Хирцебруха. Речь идет об обобщении теоремы Римана-Роха. Обобщение заключается в том, что находится закон преобразования рода Тодда при рациональных отображениях. Первоначальная теорема Римана-Роха в формулировке Хирцебруха получается из этого результата, если рассматривать отображения многообразия в точку. Доказательство этого обобщения оказывается значительно проще, чем доказательство теоремы Римана-Роха, найденное Хирцебрухом. В частности, оно алгебраическое, так что приложимо к многообразиям над произвольным полем, и Не использует теории внутренних гомологии Тома, на которой основывалось доказательство Хирцебруха. [30]