Cтраница 2
Как нетрудно убедиться, можно с помощью коллинеарного преобразования плоского поля перевести прямую а в несобственную прямую плоскости, а эллиптическую инволюцию ( Аи, Л), ( Ви В и) - в абсолютную инволюцию на ней. Тогда любая гомология с центром S, переводящая прямую и в несобственную прямую, преобразует также данную эллиптическую инволюцию в абсолютную. [16]
На основании проведенного истолкования этих понятий метрической геометрии с проективной точки зрения становится возможным построение аффинной и метрической геометрий на проективной плоскости путем фиксации произвольной прямой в качестве несобственной прямой и произвольной эллиптической инволюции на ней в качестве абсолютной инволюции. [17]
Таким образом, задача разыскания осей кривой второго порядка приводится к отысканию таких пар точек Аи и А и, которые были бы соответственными одновременно в инволюции, определяемой на несобственной прямой данной кривой второго порядка, и в абсолютной инволюции. Другими словами, дело сводится к нахождению общих пар этих двух инволюций. Так как абсолютная инволюция эллиптическая, то согласно теореме § 32 существует одна общая пара двух инволюций на несобственной прямой. Поэтому задача о разыскании осей кривой второго порядка всегда имеет решение. Если же центр О кривой k есть несобственная точка ( парабола), то существует лишь один диаметр, служащий осью кривой. [18]
Это свойство легко проверить. Пару соответственных точек абсолютной инволюции А, В определим при помощи проходящих через них прямых МА и MB ( черт. [19]
Точке А прямой МА соответствует в отражении точка А прямой М А; точке В прямой MB соответствует в отражении точка В прямой М В. При этом точки А те иВ являются соответственными в абсолютной инволюции. Таким образом, пары точек абсолютной инволюции переходят в пары той же инволюции. [20]
Рассмотрим два сопряженных диаметра ОАи и ОА и окружности k ( черт. Так как точки Аи и А и соответственны в абсолютной инволюции, то сопряженные диаметры ОАа и ОА и перпендикулярны. Это относится к любой паре сопряженных диаметров окружности. На этом основании окружность может быть определена как такая кривая второго порядка, сопряженные диаметры которой образуют ортогональную инволюцию. Так как ось кривой второго порядка есть в то же время ось симметрии кривой, то отражение окружности относительно любого ее диаметра преобразует окружность в себя, но изменяет ее ориентацию на противоположную. Предположим, что МР и NQ - два произвольных диаметра окружности ( черт. [21]
Задание инволюции на прямой, устанавливаемой кривой рого порядка, соответствует заданию двух точек кривой, именно точек пересечения ее с упомянутой прямой, которые являются двойными точками инволюции. Поэтому требование, чтобы кривая второго порядка k ( эллипс) устанавливала абсолютную инволюцию на несобственной прямой, эквивалентно заданию двух ее точек. [22]
Как несобственный центр S осевой симметрии, так и несобственная точка 5 ее оси s являются двойными точками несобственной прямой. При этом, однако, следует отметить важное свойство осевой симметрии: она переводит каждую пару соответственных точек абсолютной инволюции в пару соответственных точек той же инволюции. [23]
Из предыдущего ясно, что метрические коллинеации сохраняют перпендикулярность двух прямых. Так, если имеем пару перпендикулярных прямых ( aJLai), то несобственные точки этих прямых А, и AI, представляют собой пару соответственных точек абсолютной инволюции ( черт. Коллинеация М переводит пару точек А, Aia, в пару соответственных точек А, А [ абсолютной инволюции. Поэтому прямые а и а /, соответственные прямым а и а /, должны быть перпендикулярными как проходящие через пару соответственных точек А, А ж абсолютной инволюции. [24]
Таким образом, задача разыскания осей кривой второго порядка приводится к отысканию таких пар точек Аи и А и, которые были бы соответственными одновременно в инволюции, определяемой на несобственной прямой данной кривой второго порядка, и в абсолютной инволюции. Другими словами, дело сводится к нахождению общих пар этих двух инволюций. Так как абсолютная инволюция эллиптическая, то согласно теореме § 32 существует одна общая пара двух инволюций на несобственной прямой. Поэтому задача о разыскании осей кривой второго порядка всегда имеет решение. Если же центр О кривой k есть несобственная точка ( парабола), то существует лишь один диаметр, служащий осью кривой. [25]
Точке А прямой МА соответствует в отражении точка А прямой М А; точке В прямой MB соответствует в отражении точка В прямой М В. При этом точки А те иВ являются соответственными в абсолютной инволюции. Таким образом, пары точек абсолютной инволюции переходят в пары той же инволюции. [26]
Для этого находим точку В окружности, гармонически сопряженную с точкой А относительно пары О, N, где через ЛГ обозначена несобственная точка прямой О А. Далее, проводим произвольную прямую через точку А и строим перпендикулярную к ней прямую в точке В. Эта операция также выполняется одной линейкой, так как абсолютная инволюция вполне определяется штейнеровой окружностью ( ср. Итак, может быть построено ( с помощью одной линейки) сколько угодно точек этой окружности. [27]
Изучая в § 70 преобразования группы М, т.е. коллинеаций, не нарушающие абсолюта плоскости, мы убедились в том, что все такие коллинеаций являются преобразованиями подобия. В самом деле, преобразование подобия переводит прямые в прямые и сохраняет параллелизм и ортогональность. Следовательно, это преобразование является аффинной коллинеацией, преобразующей абсолютную инволюцию в себя. [28]
Заметим, что отражение является и н в о л ю ц ионной гомологией. Поэтому двукратное отражение приводит к тождеству. Несобственные точки осей S и SI соответствуют центрам S и S отражений в абсолютной инволюции на несобственной прямой и. Треугольники ABC, А В С и А В С с точки зрения метрической геометрии, построенной на чертеже 256, являются конгруентными, причем два из них ( ЛВС и А В С) одинаково ориентированы, а третий ( А В С) отличается от них своей ориентацией. [29]
Из предыдущего ясно, что метрические коллинеации сохраняют перпендикулярность двух прямых. Так, если имеем пару перпендикулярных прямых ( aJLai), то несобственные точки этих прямых А, и AI, представляют собой пару соответственных точек абсолютной инволюции ( черт. Коллинеация М переводит пару точек А, Aia, в пару соответственных точек А, А [ абсолютной инволюции. Поэтому прямые а и а /, соответственные прямым а и а /, должны быть перпендикулярными как проходящие через пару соответственных точек А, А ж абсолютной инволюции. [30]