Cтраница 3
В § 70 - 72 была показана возможность построения обыкновенной евклидовой геометрии в проективной форме. С этой целью на проективной плоскости был задан так называемый абсолют. В качестве последнего служила произвольно выбранная на плоскости прямая и произвольная эллиптическая инволюция на ней. Тогда, рассматривая упомянутую прямую как несобственную прямую на плоскости, а эллиптическую инволюцию на ней как абсолютную инволюцию этой плоскости, можно чисто проективным путем установить необходимые метрические понятия обыкновенной евклидовой геометрии. В частности, рассматривая те коллинеарные преобразования проективной плоскости, которые переводят указанный абсолют в себя, мы получили в их числе проективные движения, позволяющие установить понятие кон - Черт. [31]
Рассмотрим те метрические особенности кривых второго порядка, которые связаны с инволюцией, образованной кривой на несобственной прямой. Предположим, что кривая k пересекает несобственную прямую и в двух точках Ра и Qtt ( черт. Если точки Ри и Qu, служащие двойными точками гиперболической инволюции, осуществляемой кривой k на несобственной прямой, являются в то же время соответственными точками абсолютной инволюции, то кривая k называется равносторонней гиперболой. Асимптоты ОРа и OQU равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны. Указанное метрическое свойство не разрушается кол-линеациями группы М, в то время как в аффинной группе равносторонняя гипербола не может быть выделена из класса гипербол. [32]
Из предыдущего ясно, что метрические коллинеации сохраняют перпендикулярность двух прямых. Так, если имеем пару перпендикулярных прямых ( aJLai), то несобственные точки этих прямых А, и AI, представляют собой пару соответственных точек абсолютной инволюции ( черт. Коллинеация М переводит пару точек А, Aia, в пару соответственных точек А, А [ абсолютной инволюции. Поэтому прямые а и а /, соответственные прямым а и а /, должны быть перпендикулярными как проходящие через пару соответственных точек А, А ж абсолютной инволюции. [33]
А, В, получим инволюцию на несобственной прямой. Такая инволюция точек несобственной прямой называется абсолютной инволюцией. [34]
Предположим, что на проективной плоскости дана окружность k и ее центр О ( черт. Построим затем полный четырехугольник ABCD, диагональными точками которого являются центр О и точки Ра и Р и. Последние определяют несобственную прямую - поляру центра О данной окружности. Диаметры ОРа и ОР и являются сопряженными ( так как треугольник ОРаР и есть полярный), а следовательно, взаимно перпендикулярными. Поэтому несобственные точки Ри и Р и соответственны в абсолютной инволюции. Так как можно построить сколько угодно пар сопряженных диаметров, то будем иметь сколько угодно пар соответственных точек абсолютной инволюции на несобственной прямой и. Отсюда заключаем, что данная о к р у ж н о с т ь и ее центр вполне определяют абсолют плоскости. [35]
Поэтому несобственная прямая а плоскости а является полярой несобственной точки А прямой а в абсолютном полярном соответствии на несобственной плоскости. Прямая о пересекает поляру а в точке Л1, которая является несобственной точкой линии пересечения а плоскостей со и а. Таким образом, точки А о и А, являются сопряженными в отношении абсолютного полярного соответствия. С другой стороны, прямая а перпендикулярна прямой а и лежит в плоскости со. Отсюда заключаем, что точки А о. Это показывает, что инволюция сопряженных точек на несобственной прямой о, образованная абсолютным полярным соответствием, совпадает с абсолютной инволюцией на этой прямой. [36]
Предположим, что на проективной плоскости дана окружность k и ее центр О ( черт. Построим затем полный четырехугольник ABCD, диагональными точками которого являются центр О и точки Ра и Р и. Последние определяют несобственную прямую - поляру центра О данной окружности. Диаметры ОРа и ОР и являются сопряженными ( так как треугольник ОРаР и есть полярный), а следовательно, взаимно перпендикулярными. Поэтому несобственные точки Ри и Р и соответственны в абсолютной инволюции. Так как можно построить сколько угодно пар сопряженных диаметров, то будем иметь сколько угодно пар соответственных точек абсолютной инволюции на несобственной прямой и. Отсюда заключаем, что данная о к р у ж н о с т ь и ее центр вполне определяют абсолют плоскости. [37]