Cтраница 3
Это же показывает, что всякая деформация окружности S ( или S2), возможно, с самопересечениями, в процессе которой образы окружностей S и 52 не пересекаются, не меняет индекса пересечения. [31]
Для любого ориентированного многообразия М гомоморфизм [ id ]: Нр ( М) - Нп - р ( М) является изоморфизмом двойственности Пуанкаре ( см. гл. Индекс пересечения двух циклов ( определенный в гл. Группы гомологии и когомологий связаны, кроме того, теоремой об универсальных коэффициентах. [32]
Индекс пересечения замкнутой кривой на лагранжевом многообразии L С Т Х с неориентированной гиперповерхностью Г особых точек проекции L - X не меняется при замене кривой на гомологичную. [33]
Тх и точке х на X ( или, что то же на С) образы касательных к точкам t / t отличны от 0 и различны между собой. Иначе говоря, локальный индекс пересечения кривой С и любой другой гладкой кривой Е в точке х равен 2, если Е не касается одной из этих двух прямых, и больше 2, если касательная к Е совпадает с одной из них. [34]
Используя свойства многообразия автодуальных связно стей с данной базой М4, Дональдсон ( в начале 1980 - х гг.) установил глубокие топологические факты о четырехмерных замкнутых многообразиях. Например, у односвязного многообразия М4 квадратичная форма индекса пересечения Н2 ( М4) может быть положительной, только если она над Z приводится к сумме квадратов. [35]
Предположим теперь, что М, М и V - компактные связные многообразия без края. Мы докажем лемму, из которой следует, что индекс пересечения М - ЛГ не меняется при деформациях М или накрывающей изотопии Mf, и которая позволяет определить индекс пересечения двух замкнутых связных подмногообразий V дополнительных размерностей, но не обязательно с трансверсальным пересечением. [36]
Для любого правостороннего диска DR заданная ориентация на v ( DR) ( индуцированная ориентацией левостороннего диска) вместе с ориентацией на W естественным образом определяют некоторую ориентацию DR. Тогда д: С ц - Cjl-i задается матрицей индексов пересечения правосторонних сфер с левосторонними, имеющими ориентированные нормальные расслоенные пространства. [37]
В частности, определение произведения-пересечения в примере 8.3.12 не зависит от представления многообразия как факторпростран-ства. Кажется правдоподобным, что это же верно для тонких произведений-пересечений и, следовательно, для рациональных индексов пересечения. [38]
Другой подход к вычислению кратности - алгебро-геометричес-кий. Точка в образе представляется как пересечение гиперплоскостей или подмногообразий, после чего число ее прообразов находится как индекс пересечения прообразов этих гиперплоскостей или подмногообразий. Оба результата, упомянутых выше, могут быть получены и с использованием этого подхода. Для случая мероморфных функций с простыми критическими значениями ( но произвольными полюсами) на поверхностях произвольного рода описанный подход позволяет выразить кратность отображения ЛЛ через интегралы от классов Черна некоторых расслоений по пространству модулей комплексных структур на поверхности. Такой подход ведет к лучшему пониманию геометрии дискриминанта. [39]
С) Пусть Сг и С2 - две кривые на поверхности М2, допускающие сложение. Редуцированное по модулю два число точек пересечения этих кривых обозначается через / ( Ci, С 2) и называется индексом пересечения. [40]
X, соответствующий дивизору D, то В наз. Дивизор Картье D на схеме X, собственной над алгебраически замкнутым полем fc, обилен тогда и только тогда, когда для каждой замкнутой целой подсхемы У9Х индекс пересечения Dr - Y положителен, где г - dim Y. [41]
Предположим теперь, что М, М и V - компактные связные многообразия без края. Мы докажем лемму, из которой следует, что индекс пересечения М - ЛГ не меняется при деформациях М или накрывающей изотопии Mf, и которая позволяет определить индекс пересечения двух замкнутых связных подмногообразий V дополнительных размерностей, но не обязательно с трансверсальным пересечением. [42]
Доказательство теоремы 6.4. Согласно 5.2, можно так предварительно изменить g вблизи V, чтобы S и SL пересекались трансверсально. Если 5я П SL состоит более чем из одной точки, то равенство SR SL 1 гарантирует существование пары точек р, q из S D L, в которых индексы пересечения противоположны по знаку. Если мы сумеем показать, что в этой ситуации применима теорема 6.6, it после соответствующего изменения g вблизи V число точек пересечения 5 и SL, в силу леммы 4.6, уменьшится на две. Таким образом, если повторить этот процесс конечное число раз, то S и SL будут пересекаться трансверсально в единственной точке, и тем самым теорема будет доказана. [43]
Достаточно проверить, что группа Ходжа X коммутативна. Это следует из того, что HgX должна тривиально действовать на Hl l ( X, Q) Sx - Следовательно, она переводит в себя Тх - ортогональное дополнение к Sx, причем индекс пересечения сохраняет форму. Остается учесть, что группа автоморфизмов двумерного модуля, снабженного скалярным произведением, коммутативна. [44]
Как показано в работе [1], стр. X типа КЗ группа Нъ ( Х, Z) не имеет кручения. Индекс пересечения определяет в ней целозначное скалярное произведение. [45]