Cтраница 4
Как следствие получается, что ( С) 2 - 2, а равенство ( б1) 2 - - - 2 будет выполнено только для гладких рациональных кривых. Отсюда также следует, что ( Z)) 2 - четное число для любого дивизора D. Индекс пересечения определяет на N ( X) целозначную билинейную форму, у к-рой квадрат любого элемента четен. [46]
Геометрический инвариант, который мы будем рассматривать здесь, - это группа Нерона-Севери ( или Пикара) Sx поверхности X, состоящая из классов дивизоров поверхности, определенных над алгебраическим замыканием ее поля определения. При помощи индекса пересечения группа Sx превращается в целочисленную решетку и в этом качестве будет дальше рассматриваться. [47]
Следующее определение ориентируемости базисного множества дается для ориентируемых многообразий. В этом случае инвариантные многообразия ( устойчивые и неустойчивые) наряду с внутренней ориентацией наделяются естественным образом трансверсальной ориентацией. Базисное множество 17 называется ориентируемым, если для любой точки х J7 индекс пересечения W. В противном случае множество fi называется неориентируемым. [48]
Следствием этой формулы является, например, параллелизуемость ориентируемых трехмерных многообразий. В частности, на Я2 H2k ( Mn, Z) / Torsion скалярный квадрат ( z2, [ M4k ]) ( z, z) четен. Сигнатура r ( M4k) определяется для всех ориентируемых многообразий как разность чисел положительных и отрицательных квадратов формы индекса пересечения на Ны ( М41е, Z), хотя эта форма невырождена только для замкнутых многообразий. [49]
Основным инвариантом такой поверхности является ее группа классов дивизоров, определенных над алгебраическим замыканием поля К, то есть группа Пикара Pic V. Этот инвариант обладает несколькими структурами; это свободная абелева группа конечного ранга, решетка относительно скалярного умножения, определенного индексом пересечения дивизоров, и-модуль относительно действия группы Галуа GK. K ( V), группа Pic V, вообще говоря, меняется, хотя это изменение можно проследить. Однако группа когомо-логий Галуа Я ( 0к, Pic V) является конечной группой и би-рациональным инвариантом поверхности. [50]
В дальнейшем его результаты были обобщены на многообразия высшей размерности ( В. Кроме того, доказано, что число положительных квадратов в квадратичной форме, определяемой на Я2 ( V, - %) индексом пересечения, равна 2pg ( V) Jri. Аналоги этих результатов для случая ноля конечной характеристики неверны. [51]