Cтраница 1
Индекс подгруппы GO в G не превосходит восьми. [1]
Индексом подгруппы Н проконечной группы G называется наименьшее общее кратное С: Я множеств индексов G HU, где U пробегает совокупность открытых нормальных подгрупп G. Порядок G [ проконечной группы G определяется как индекс в G единичной подгруппы. [2]
Индексом подгруппы Н проконечной группы G называется наименьшее общее кратное G: H множеств индексов [ G: HU, где U пробегает совокупность открытых нормальных подгрупп G. Порядок 1G проконечной группы G определяется как индекс в G единичной подгруппы. [3]
Очевидно, индекс подгруппы 2 1, 2 группы 21т равен двум. [4]
Тогда G АВ и индексы подгрупп А и В в группе G взаимно просты. [5]
Заметим, что по-линомиальность индекса подгруппы Я в G и требование, чтобы принадлежность к Н была полиномиально разрешима, опять же гарантируют нам, что на весь процесс требуется лишь полиномиальное время. Игнорируя первый список, а именно представителей G по подгруппе Н получаем, что остальные списки содержат множество образующих Я. [6]
Рядом с каждым номером дан индекс подгруппы, в которую он входит, количество в подгруппе и наименование. [7]
Если группа G конечна, то индекс подгруппы Н будет равен, очевидно, частному от деления порядка всей группы G на порядок подгруппы Н, причем порядком конечной группы называется число содержащихся в ней элементов. Заметим, что из совокупностей ( 35) только первая совокупность образует подгруппу. Каждая из остальных совокупностей Gfe / / a не содержит единичного элемента, а потому не может образовать подгруппы. [8]
Если группа G конечна, то индекс подгруппы Н будет равен, очевидно, частному от деления порядка всей группы G на порядок подгруппы Н, причем порядком конечной группы называется число содержащихся в ней элементов. Заметим, что из совокупностей ( 35) только первая совокупность образует подгруппу. Каждая из остальных совокупностей Ofc / / a не содержит единичного элемента, а потому не может образовать подгруппы. [9]
Это является основанием для введения понятия индекса подгруппы в группе. [10]
Мы рассмотрели случай, когда в индексах подчиненных подгрупп после наклонной черты указано две цифры. Но цифр может быть больше, причем каждую следующую цифру понимают как дальнейшее десятичное деление предшествующей. [11]
Это утверждение эквивалентно тому факту, что индекс подгруппы G0 в G равен порядку группы автоморфизмов матрицы Картана. Доказательство этого утверждения намечено в упражнениях. Сформулированный результат для алгебр Ли Av Bt, Cv Dv 1 4, G2 и FI будет следовать из явного описания групп автоморфизмов этих алгебр, которое будет дано в следующем параграфе. [12]
Отметим, что из приведенных рассуждений вытекает, что индекс подгруппы, о которой идет речь в теореме 1, будет не больше некоторой границы, зависящей лишь от порядка матриц. В частности, получается известный результат: длина цепочки коммутантов разрешимой матричной группы не превосходит границы, зависящей лишь от порядка матриц. [13]
А это число в § 10 и было названо индексом подгруппы в группе. [14]
Две подгруппы Г и I группы G называются соизмеримыми, если индексы подгрупп Г П Г в группах Г и Г конечны. [15]