Cтраница 2
Обозначим через п число инволюций в К, а через т - индекс подгруппы N ( К) в G. Группа G содержит точно пт инволюций. Так как п 1, то найдется смежный класс gN ( К) ( g N ( К)), содержащий по крайней мере две инволюции. N ( D) - собственная подгруппа в G и имеет четный порядок. Из описания расшепляемых групп нетрудно получить, что элемент а индуцирует в силовской р-подгруппе из N ( D) регулярный автоморфизм. [16]
Если Я является подгруппой G, то через [ G: Я ] обозначим индекс подгруппы Я в G. [17]
Доказать, что число четных и нечетных перестановок в группе Sn одинаково и что, следовательно, индекс альтернативной подгруппы ранен двум. [18]
Так, если AJ - ] A, l и A - Aj - бесконечная циклическая группа, то индекс подгруппы А - в группе А - равен со1, так как в качестве элемента а мы можем взять любой элемент из смежного класса по подгруппе А - являющегося образующим элементом циклической группы A - Aj. [19]
Проективный предел F ( I) системы групп Fj / N, где TV - такие нормальные делители группы F, что индекс подгруппы N в Ff является степенью числа р, а почти все элементы a -, i. [20]
Множество всех правых смежных классов группы С по подгруппе Н обозначается через С: Н, а его мощность I С: Н называется индексом подгруппы Н в группе С. [21]
Например, подгруппа я2 X я2 группы я4 содержит четыре элемента. Индекс подгруппы равен шести. Следовательно, 24 перестановки группы лч могут быть разбиты на шесть смежных классов. [22]
Так как индекс подгруппы А1 AI - прост, между AI и At не существует подгрупп. [23]
Пусть подгруппа К отлична от своего нормализатора. Так как индекс подгруппы К в своем нормализаторе нечетен и подгруппа К нильпотентна, то подгруппа N ( К) разрешима и, следовательно, отлична от G. Подгруппа N ( К) не содержится ни в какой собственной изолированной подгруппе группы G и поэтому покрывается собственными изолированными подгруппами. Тогда в силу выбора группы G подгруппа N ( К) расщепляема. [24]
Из теории групп известно, что сопряженные совокупности группы по инвариантной подгруппе можно рассматривать как элементы некоторой новой группы ( фактор-группы), в которой инвариантная подгруппа играет роль единичного элемента. Порядок фактор-группы равен индексу инвариантной подгруппы, или отношению порядка группы к порядку подгруппы. Это означает, что между элементами групп Фо / Га и G0 существует взаимно-однозначное соответствие. Так, элементу Е группы С0 соответствует вся группа трансляций Т а ( единичный элемент фактор-группы), элементу gi группы G0 - совокупность элементов gi a. [25]
Поскольку эти элементы являются образующими алгебры И, т - инвариантный автоморфизм. Теперь нетрудно показать, что индекс инвариантной подгруппы G0 группы G не превосходит порядка группы автоморфизмов матрицы Картана. В самом деле, пусть Р: 1 - 1 - автоморфизм матрицы Картана. [26]
Аналогично определяются правые смежные классы. Число смежных классов подгруппы называется индексом подгруппы. За исключением самой Н ни один из смежных классов GkH не образует подгруппу, так как не содержит единичного элемента. [27]
Следовательно, т смежных классов (1.17) можно рассматривать как элементы некоторой группы, в которой роль единичного элемента играет сама инвариантная подгруппа. Эта группа, порядок которой равен индексу подгруппы / /, называется фактор-группой по инвариантной подгруппе Я и обозначается G / H. Группа, не имеющая инвариантной подгруппы, называется простой. [28]
Их размерности связаны соотношением, аналогичным соотношению для индексов подгрупп. [29]
Как будет показано дальше ( см. 4.1.16), множества классов в правом разложении и левом разложении равномощны. Если число их конечно, то оно называется индексом подгруппы Н в группе G. [30]